Deine Argumentation funktioniert so leider nicht. Dass eine Überdeckung von \(K\) vereinigt bzw. geschnitten mit einer Überdeckung von \(L\) auch \(K \cup L\) bzw. \(K \cap L\) überdeckt, zeigt erstmal noch gar nichts. Du musst dir zu \( K \cup L \) bzw. \( K \cap L \) eine bliebige offene Überdeckung vorgeben und dann zeigen, dass sie eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Beispielsweise könnte man es so machen: Sei \(K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i\) eine offene Überdeckung. Dann sind auch \(K \subset \cup_{i \in I} U_i\) und \(L \subset \cup_{i \in I} U_i \) offene Überdeckungen und wegen der Kompaktheit von \(K\) und \(L\) existieren endliche Teilüberdeckungen \(K \subset \cup_{k = 1}^n U_{i_k}\) und \(L \subset \cup_{l = 1}^m U_{i_l} \). Und somit besitzt dann die offene Überdeckung \(K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i\) die endliche Teilüberdeckung \(K \cup L \subset (\cup_{k=1}^n U_{i_k}) \cup ( \cup_{l=1}^m U_{i_l} ) \). Also ist \(K \cup L\) kompakt.

Da wir uns hier aber im \( \mathbb{R}^n \) befinden, können wir den Beweis auch ganz einfach mit dem Satz von Heine-Borel erbringen. Wenn \(K\) und \(L\) kompakt sind, dann sind sie beschränkt und abgeschlossen. Dann müssen aber auch \(K \cup L\) und \(K \cap L\) beschränkt und abgeschlossen sein, also auch kompakt.