Deine Argumentation funktioniert so leider nicht. Dass eine Überdeckung von $K$ vereinigt bzw. geschnitten mit einer Überdeckung von $L$ auch $K \cup L$ bzw. $K \cap L$ überdeckt, zeigt erstmal noch gar nichts. Du musst dir zu $K \cup L$ bzw. $K \cap L$ eine bliebige offene Überdeckung vorgeben und dann zeigen, dass sie eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Beispielsweise könnte man es so machen: Sei $K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i$ eine offene Überdeckung. Dann sind auch $K \subset \cup_{i \in I} U_i$ und $L \subset \cup_{i \in I} U_i$ offene Überdeckungen und wegen der Kompaktheit von $K$ und $L$ existieren endliche Teilüberdeckungen $K \subset \cup_{k = 1}^n U_{i_k}$ und $L \subset \cup_{l = 1}^m U_{i_l}$. Und somit besitzt dann die offene Überdeckung $K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i$ die endliche Teilüberdeckung $K \cup L \subset (\cup_{k=1}^n U_{i_k}) \cup ( \cup_{l=1}^m U_{i_l} )$. Also ist $K \cup L$ kompakt.

Da wir uns hier aber im $\mathbb{R}^n$ befinden, können wir den Beweis auch ganz einfach mit dem Satz von Heine-Borel erbringen. Wenn $K$ und $L$ kompakt sind, dann sind sie beschränkt und abgeschlossen. Dann müssen aber auch $K \cup L$ und $K \cap L$ beschränkt und abgeschlossen sein, also auch kompakt.