Kompaktheit

Aufrufe: 651     Aktiv: 14.05.2020 um 18:04

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Also meine aufgabe ist es zu zeigen das wenn K,L Teilmengen von R^n Kompakt sind so ist auch der schnitt und die Vereinigung dieser beiden Mengen Kompakt

 

Kann man dabei so Argumentieren da wenn K kompakt ist muss es zu jeder offenen Überdeckung von (U_i) von K eine endliche Teilüberdekung von K geben, das selbe muss ja auch für L gelten da L ja auch Kompakt ist kann man dann bei der Aufgabe so argumentieren das wenn man sich denn Schnitt bzw Vereinigung dieser offenen Teilmengen anschaut diese ja wieder K,L geschnitten bzw vereinigt überdeckt und somit der Schnitt bzw Vereinigung von K und L auch wieder kompakt sind ?

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Deine Argumentation funktioniert so leider nicht. Dass eine Überdeckung von \(K\) vereinigt bzw. geschnitten mit einer Überdeckung von \(L\) auch \(K \cup L\) bzw. \(K \cap L\) überdeckt, zeigt erstmal noch gar nichts. Du musst dir zu \( K \cup L \) bzw. \( K \cap L \) eine bliebige offene Überdeckung vorgeben und dann zeigen, dass sie eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Beispielsweise könnte man es so machen: Sei \(K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i\) eine offene Überdeckung. Dann sind auch \(K \subset \cup_{i \in I} U_i\) und \(L \subset \cup_{i \in I} U_i \) offene Überdeckungen und wegen der Kompaktheit von \(K\) und \(L\) existieren endliche Teilüberdeckungen \(K \subset \cup_{k = 1}^n U_{i_k}\) und \(L \subset \cup_{l = 1}^m U_{i_l} \). Und somit besitzt dann die offene Überdeckung \(K \cup L \subset \cup_{i \in I}U_i\) die endliche Teilüberdeckung \(K \cup L \subset (\cup_{k=1}^n U_{i_k}) \cup ( \cup_{l=1}^m U_{i_l} ) \). Also ist \(K \cup L\) kompakt.

Da wir uns hier aber im \( \mathbb{R}^n \) befinden, können wir den Beweis auch ganz einfach mit dem Satz von Heine-Borel erbringen. Wenn \(K\) und \(L\) kompakt sind, dann sind sie beschränkt und abgeschlossen. Dann müssen aber auch \(K \cup L\) und \(K \cap L\) beschränkt und abgeschlossen sein, also auch kompakt.

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alles klar danke hat mir sehr geholfen
  ─   henry_99 14.05.2020 um 18:04

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