Warum rechnest Du mit  $B$, wenn in der Aufgabe von $C$ die Rede ist? Und woher weißt Du, dass $P(\overline B\cap \overline C)=P(\overline B)\cdot P(\overline C)$? Dies gilt nicht ohne weiteres und davon ist nichts gegeben.
Du hast einen unnötig komplizierten Weg gewählt und durch zwischenzeitliches Wechseln der Buchstaben völlig auf Abwege gebracht.
Das einfachste, sauberste ist mithilfe des Additionssatzes $P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)$.