Das Dosenproblem

Aufrufe: 229     Aktiv: 18.09.2023 um 22:58

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Folgende Aufgabe:

Bei der Herstellung zylindrischer Dosen muss wegen der notwendigen Schweißnaht der Radius des Deckel- und Bodenblechs 6 mm größer als der Innenradius der Dose sein. Für die Schweißnaht längs der Mantellinie ist eine Zugabe nötig. Aus Gründen der Stabilität sind Boden, Deckel und Mantel mit Wellen versehen. Das Blech für den Mantel muss daher etwa 2% höher sein als die Dosenhöhe h. Für Deckel und Boden kann der Materialverbrauch für die Wellen vernachlässigt werden.
 
a) Zeige: Der Materialverbrauch O(r) für allgemeines Volumen V wird beschrieben durch die Gleichung

0(r)=2πr²+2,4πr+0,72π+2,04 V/r

Im vorraus schonmal vielen Dank für die Antworten.
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Wo ist denn das Problem. Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?   ─   cauchy 18.09.2023 um 19:56
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1 Antwort
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Hier fehlt die Angabe der Längeneinheit. Sie beträgt \(1\, \mbox{cm}\). Entsprechend werden alle Flächen in \(\mbox{cm}^2\) angegeben.

Zunächst zum Deckel: Es handelt sich um einen Kreis. Die Formel für die Kreisfläche ist \(\pi r^2 \). Der Radius des Deckel muss 6 mm = 0,6 cm größer sein als der Innenradius r. Also ist der Deckelradius r+0,6. Das ergibt:
Fläche Deckel = \(\pi (r+0,6)^2 \).

Der Boden hat nochmal die gleiche Fläche.

Zum Mantel: Die Formel für Fläche lautet \(2\pi h r \). Hier aber muss h 2% größer sein, also muss man 1,02h statt h verwenden. Also
Mantelfläche = \(2\pi \cdot 1,02 h r \) = \(2,04 \pi h r \).

In der Formel der Frage kommt V vor. V ist das Innenvolumen, welches ein Zylinder ist. Formel: \(V=\pi h r^2 \). Die kann man nach h auflösen.

Wenn man das alles beherzigt, kommt man auf die angegebene Formel.
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