Es geht hier nicht um das Berechnen der Scheitelpunktform, sondern um das Lösen der Gleichung, wie sie oben steht, nämlich =0. Auch das geht mit der quadratischen Ergänzung. Die Vorgehensweise ist dieselbe, daher zeige ich jetzt, ergänzend dazu, wie man damit die Gleichung löst. 

Wir setzen also die Scheitelpunktform von oben gleich null und haben dann \((x+2{,}5)^2-12{,}25=0\). Wir bringen die \(12{,}25\) auf die andere Seite und ziehen anschließend die Wurzel auf beiden Seiten. Dadurch erhalten wir:

\((x+2{,}5)^2 = 12{,}25\)

\(x+2{,}5=\pm\sqrt{12,25}\) (beim Wurzelziehen gibt es immer zwei Lösungen!)

\(x=-2{,}5\pm\sqrt{12,25}\) (und das ist übrigens die pq-Formel)

Und ausrechnen: 

\(x_1=-2{,}5-3{,}5=-6\) bzw. \(x_2=-2{,}5+3{,}5=1\)

Für was es genutzt wird: Mit der Quadratischen Ergänzung bringst du die quadratische Gleichung in eine solche Form ("Scheitelform"), dass der Scheitelpunkt ohne weiteres abgelesen werden kann. Wenn du dir den Verlaus dieser Funktion ansiehst (du kannst ihn sehen indem du die Funktion z. B. in https://www.geogebra.org/calculator eingibst), dann siehst du dass du mit der quadratischen Ergänzung die Koordinaten des tiefsten Punktes ermittelst. Für die Berechnung empfehle ich dir "quadratisch Ergänzen" bei YouTube einzugeben, da gibt es haufenweise Erklärvideos (z. B. von Leherer Schmidt, Daniel Jung, Mathe SimpleClub etc.)

Hat das die Frage beantwortet? :)