Prüfe auf konvergenz, wenn gegeben, bestimme den Grenzwert, wie kann ich das begründen?

Aufrufe: 703     Aktiv: 14.03.2022 um 09:36
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Ich mein man sieht ja offensichtlich, dass das divergent ist, da der Zähler imemr größer wird + potenzierung, aebr wie weise ich das nach?
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Vorsicht mit dem, was offensichtlich scheint. Solange kein Beweis vorliegt, gilt erstmal gar nichts.
Es stimmt nämlich nicht, dass der Zähler immer größer wird. Er wird nämlich immer kleiner. Trotzdem ist die Folge unbeschränkt. Nachweis dazu: Weise nach, dass $\sqrt[3n]{n}\ge 1$ für alle $n$ ist und schätze die Folge nach unten (also mit $\ge$) gegen eine unbeschränkte geometrische Folge ab.
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Ich weiß das nWurzel(n) auf 1 konvergiert, konvergiert dadurch auch 3nWurzel(n) auf 1? Reicht das als beweis?   ─   kambinoka0 12.03.2022 um 23:49
Also habe ich so schonmal nachgeweisen, dass 3nWurzel(n) auch auf 1 konvergiert, was es ja trivialerweise tun muss, wenn nWurzel/n) auf 1 konvergiert?   ─   kambinoka0 12.03.2022 um 23:51
Genau, aber ihc kann ja dadurch zumindest abschätzen:

Folge >= (3/2)^n oder? Weil ich weiß dass 3Wurzel(n) gegen 1 geht?   ─   kambinoka0 13.03.2022 um 00:20
@kambinoka0 du sollst zeigen, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt: $\sqrt[3n]{n} \geq 1$. Dann ja, kannst du deine Folge nach unten gegen $(\frac{3}{2})^n$ abschätzen   ─   maqu 13.03.2022 um 01:03
Kann ich nicht einfach sagen, dass von jeder natürlichen Zahl die Wurzel >= 1 ist?   ─   kambinoka0 13.03.2022 um 01:25

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Moin,
ich denke, dass du den limes berechnen willst, wenn n gegen unendlich geht. Man könnte kurz argumentieren, dass der limes von \(\sqrt[n]{n}\) gegen 1 geht und damit \((\frac{3}{2})^n\) natürlich gegen unendlich.  Eine genaue Rechnung könnte man auch machen, dann müsste man den Logarithmus nehmen, das würde aber eine menge Schreibarbeit brauchen
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Student, Punkte: 3.82K

 
schon komisch das sich dieser Irrglaube bei vielen so einbrennt den Limes teilweise zu bestimmen   ─   maqu 12.03.2022 um 23:55
scheinbar lässt bei einigen Helfern auch die Fähigkeit, lesen zu können langsam nach: ich habe explizit geschrieben, dass es eben nicht ausreicht so zu argumentieren, dass es einem aber eine Idee gibt, in welche Richtung es gehen wird.   ─   fix 13.03.2022 um 10:08
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@fix hast du denn den Beitrag den mikn verlinkt hat gelesen? Du sagst das man argumentieren soll nur weil $\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1$ gilt man auf den Grenzwert der Folge schließen kann. „Nur“ weil das in diesem Fall stimmt soll man es trotzdem so nicht machen, weil es (wie im verlinkten Beitrag gezeigt) im Allgemeinen nicht richtig ist. Wie mikn sagt, wenn falsche Überlegungen zum richtigen Ergebnis führen ist es trotzdem nicht richtig. Also liefert deine Überlegung vielleicht in diesem Beispiel eine Idee, aber das kann auch mal nach hinten losgehen bei einer anderen Aufgabe. Deswegen sollte man sich diese Art der Überlegung garnicht erst aneignen.   ─   maqu 13.03.2022 um 11:33
Alle Folgen der Art \(a^n\) konvergieren, falls a gegen einen Wert zwischen 0 und 1 konvergiert. Sollte a gegen einen Wert größer 1 konvergieren, divergiert die Folge auf jeden Fall. Wenn man also einigermaßen weiß, was man tut, genügt es, den Grenzwert von \(\frac{\sqrt[3n]{n}+2}{2}\) zu bestimmen, um auf Konvergenz/Divergenz zu prüfen. Wenn man also weiß, dass \(\sqrt[n]{n}\) gegen 1 konvergiert, kann man direkt folgern, dass die Folge divergiert. Selbst wenn dem Fragesteller dies nicht bewusst war, war seine Intuition doch richtig, wie so oft in Mathe, sollte man sie daher nicht unterdrücken.   ─   fix 13.03.2022 um 12:10
$a$ konvergiert nicht sondern ist ein fester Wert … die Argumentation ist bleibt trotzdem nicht richtig auch wenn du es nochmal aufschreibst … lies doch bitte nochmal in Ruhe den verlinkten Beitrag und die Kommentare zu deiner Antwort durch und versuche vielleicht nicht an dem Beispiel festzuhalten wo es wie hier „funktioniert“, sondern wo es eben nicht haltbar ist so zu argumentieren … klar hat man oft intuitiv eine Idee und auf die sollte man meist hören, aber auch versuchen logisch zu begründen   ─   maqu 13.03.2022 um 12:30
Der verlinkte Beitrag hat mit meinen Kommentaren nichts zu tun, a steht nicht für eine Konstante, das habe ich schlecht formuliert. Vielmehr ist a selbst eine Folge, wie im Beispiel oben geschrieben. Lies meinen letzten Kommentar erneut, und versuch zu verstehen was ich geschrieben habe...   ─   fix 13.03.2022 um 12:34
Das Problem ist wahrscheinlich, dass es sich hier um ein Lemma aus deiner Vorlesung handelt, es ist aber sehr unwahrscheinlich, dass der Fragesteller es auch in der Vorlesung hatte (ist kein Standardlemma, vielleicht eher eine Übungsaufgabe)   ─   mathejean 13.03.2022 um 13:41
@mikn du hast natürlich recht, ich habe mich vermutlich schlecht ausgedrückt. Ich hatte nie die Absicht zu behaupten, dass man Grenzwerte berechnen kann, indem man von Teilen der Folge Grenzwerte bildet und diese dann kombiniert. Ich dachte nur, dass es in diesem Fall (da es für mich aufgrund des genannten Faktes über Grenzwerte der Art \(\lim\limits_{n \to \infty}a_n^n\) relativ offensichtlich war) in Ordnung wäre, mit so lockeren Formulierungen zu arbeiten. Dass das bei Neulingen zu schlechten Gewohnheiten führen kann, habe ich dabei unterschätzt.   ─   fix 13.03.2022 um 18:56

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Wende zur Abschätzung die Bernoulii-Ungleichung \((1+x)^n\geq 1+n\cdot x\) an!
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