Es sei \( F(x, y) = x^3 − 3xy + y^3 − 1 = 0 \). Man berechne \(y′\) und \(y′′\) im Punkt \( (1,−\sqrt{3}) \).


Ansatz:
\(y'(x) = -\frac{F_{x} (x, y(x))}{F_{y}(x, y(x))}\)

\(F_{x} = 3x^2-3y = 3(x^2 -y)\)
\(F_{y} = 3y^2 - 3x = 3(y^2 -x)\)

\(F(1, - \sqrt{3} = 0 = 1 + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} -1\)
\(F_{y}(1, -\sqrt{3}) \ne 0 \ne 3(3 -1) = 6\)

\(y'(x) = - \frac{F_{x}(x, y(x))}{F_{y}(x, y(x))} = -\frac{3(x^2 - y(x))}{3(y(x)-x)} = \frac{y(x) -x^2}{y(x)^2 -x}\)

Frage:
Stimmt mein Ansatz und wie kann man die zweite Ableitung berechnen?