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Liebes Forum, stimmt die obige Aussage? Falls ja, könnte mir jemand von euch mit einem Beweis aushelfen? Danke und beste Grüße Handfeger 0
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Wähle teilerfremde \(p,q\in \mathbb{N}\) mit \(\frac {p}{q}=\sqrt{n}\), wobei \(n\in \mathbb{N}\) keine Quadratzahl ist. Es gilt dann \(\frac {p^2}{q^2}=n\). Da \(\sqrt{n}\not \in \mathbb{Z}\) gilt, folgt \(q>1\). Da \(p^2\) und \(q^2\) teilerfremd sind, folgt nun der Widerspruch \(n\not \in \mathbb{Z}\).
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Lieber Jan, danke für deine Antwort... stehe leider aber noch etwas auf dem Schlauch ...   ─   handfeger0 01.09.2021 um 18:49

Wenn \(\sqrt{n}\) rational wäre, gäbe es teilerfremde \(p,q\) mit \(\frac p q = \sqrt{n}\). Quadriere diese Gleichung nun. Jetzt wissen wir, dass \(\sqrt{n}\) keine ganze Zahl sein kann, also muss \(q > 1\) sein. Auch folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, dass wenn zwei Zahlen teilerfremd, auch ihr Quadrat teilerfremd ist. Also kann \(\frac {p^2}{q ^2}\) keine ganze Zahl sein, was jedoch ein Widerspruch ist, da es \(n\) ist und \(n\) nach Vorraussetzung eine natürliche Zahl ist.   ─   mathejean 01.09.2021 um 19:03

Mhh. Also wenn das so stimmen würde, dann müsste man dies auch für n=2 anwenden können. Dann gilt im Wesentlichen folgendes:
Angenommen sqrt(2)=p/q, mit p,q teilerfremd.
Quadrieren: 2=p^2/q^2
Da p und q teilerfremd sind, muss 2 ein Bruch sein. 2 ist aber kein Bruch. Widerspruch.
Das wirkt irgendwie nicht stimmig auf mich. Dies könnte man dann für alle natürlichen Nicht-Quadrat-Zahlen so machen und weiterhin wäre der sonst so gängige Beweis, die Irrationalität von Wurzel 2 zu zeigen(Beweis 1 in diesem Video: https://www.youtube.com/watch?v=zEXcsZo4hOQ), unnötig lang. Bist du sicher, dass der Beweis so korrekt ist?
  ─   freiwild 15.09.2021 um 12:42

Der Beweis ist so korrekt und gilt auch für \(\sqrt{2}\). Die meisten Beweise zur Irrationalität von \(\sqrt{2}\) sind allerdings als Anfängerbeweise gemacht und gehen dementsprechend vor. In den typischen Beweisen wird aus dem Ausdruck \(\frac{p^2}{q^2}=2\) gefolgert, dass Zähler und Nenner gerade sind. In meinem Beweis verwende ich allerdings ein stärkeres Resultat (folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), dass \(p^2\) und \(q^2\) teilerfremd sind. Da nun \(q>1\) gilt, folgt unmittelbar \(q^2>1\), sodass aus \(\frac{p^2}{q^2}=2\) der Widerspruch \(2\not \in \mathbb{Z}\) folgt. Wie du siehst ist mein Beweis sogar wesentlich länger, wenn man jeden einzelnen Schritt beweisen möchte, weshalb dieser Beweis auch kein klassischer Anfängerbeweis ist, da man mehr über die Struktur der ganzen Zahlen wissen muss.   ─   mathejean 15.09.2021 um 13:06

"Dies könnte man dann für alle natürlichen Nicht-Quadrat-Zahlen so mache": Ja kann man! Das war auch die Aussage die hier gezeigt werden sollte!   ─   mathejean 15.09.2021 um 13:15

Ok interessant, vielen Dank für die Antwort. Welcher Beweis nun länger ist, das kommt denke ich darauf an, wie viel man an Wissen voraussetzt. Als Beispiel: Wie man in deinem Beweis die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nutzt und noch beweisen könnte, so könnte man beim anderen Beweis sehr ausführlich zeigen, warum welche Zahl gerade ist.(Dies sieht man auch gut im Video) Außerdem benutzt man beim oft gebrauchten Beweis, dass der Bruch vollständig gekürzt ist, was letztendlich heißt, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Hier wird das Wissen um Teilbarkeit/Nicht-Teilbarkeit also ebenfalls genutzt, nur nicht weiter ausgeführt und einfach vorausgesetzt, dass klar ist, was Unkürzbarkeit letztlich bedeutet.

Eine kleine Frage hätte ich noch: Du schreibst im Beweis: "Jetzt wissen wir, dass √n keine ganze Zahl sein kann,"
Wir nehmen ja lediglich an, dass Wurzel(n) rational und keine Quadratzahl ist. Wieso darfst du hier annehmen, dass Wurzel(n) keine ganze Zahl ist`. Wir wissen ja noch gar nicht, was Wurzel(n) ist, das versuchen wir durch den Beweis doch herauszufinden.
  ─   freiwild 15.09.2021 um 15:52

Die Wurzel ist rational, weil der Bruch vollständig gekürzt ist. Wäre sie eine ganze Zahl, so wäre p durch q teilbar und der Bruch nicht mehr vollständig gekürzt im Widerspruch zur Annahme, dass er vollständig gekürzt ist.   ─   cauchy 15.09.2021 um 16:00

Ok und q kann nicht 1 sein, da sonst die Voraussetzung, dass wir keine Quadratzahlen betrachten, verletzt wäre?   ─   freiwild 15.09.2021 um 16:01

Ok, meine Antwort war an cauchy, du hast jetzt kurz vor mir noch deine Antwort abgeschickt, die "Ok und q kann nicht 1 sein, da sonst die Voraussetzung, dass wir keine Quadratzahlen betrachten, verletzt wäre? " beantwortet.:D
Super, danke ihr beiden.
  ─   freiwild 15.09.2021 um 16:04

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Hallo Handfeger 0

Hier ist ein Beweis, der zwar etwas länger ist, aber dafür auf Teilbarkeit verzichtet.

Wir machen zunächst eine Vorüberlegung:

Wenn wir zwei Zahlen der Form \( a+b\sqrt{n} \) multiplizieren (mit \( a \) und \(b\) sollen hier und im Folgenden immer ganze Zahlen gemeint sein), dann erhalten wir wieder eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \), denn es gilt \( (a_1+b_1\sqrt{n} ) \cdot (a_2 +b_2 \sqrt{n} ) = (a_1 a_2 + b_1 b_2 n) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \sqrt{n} \).

Insbesondere lässt sich daraus folgern, dass auch die \(k\)-te Potenz einer Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) wieder eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) ist.

Nun zum Beweis:

Wir nehmen an, dass \(n\) keine Quadratzahl und trotzdem \( \sqrt{n} \) eine rationale Zahl ist.

Wir bezeichnen mit \(m\) die kleinste natürliche Zahl, die größer als \( \sqrt{n} \) ist (\( m \) ist also von \( \sqrt{n} \) aus gesehen die nächstgrößere natürliche Zahl). Damit definieren wir dann die Zahl \( z=m-\sqrt{n} \) (\(z\) ist also der Abstand von \( \sqrt{n} \) zur nächstgrößeren natürlichen Zahl).

Da \( z \) eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) ist (mit \(a=m\) und \(b=-1\)), muss somit nach unserer Vorüberlegung auch die \(k\)-te Potenz \( z^k \) eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) sein. Da \( \sqrt{n} \) rational ist, können wir \( \sqrt{n} = \frac{p}{q} \) mit natürlichen Zahlen \( p \) und \( q \) schreiben, und wir erhalten somit \( z^k = a+b\sqrt{n} = a+b\frac{p}{q} = \frac{aq+bp}{q} \).

Da \( z \) nach Konstruktion positiv ist, muss auch \( z^k \) positiv sein. Wegen \( z^k = \frac{aq+bp}{q} \) muss dann aber auch \( aq+bp \) positiv sein, und da dies eine ganze Zahl ist, folgt sogar \( aq+bp \ge 1 \).

Insgesamt erhalten wir also \( z^k = \frac{aq+bp}{q} \ge \frac{1}{q} \). Das heißt: \( z^k \) wird (egal für welches \(k\)) niemals kleiner als \( \frac{1}{q} \).

Wenn \(n\) aber keine Quadratzahl ist, dann kann \( \sqrt{n} \) keine natürliche Zahl sein. Das hätte zur Folge, dass \( z < 1 \) ist. Damit wird jedoch \( z^k \) für größere \( k \) immer kleiner. Und irgendwann wird \( z^k \) sogar kleiner als \( \frac{1}{q} \). Das ist offensichtlich ein Widerspruch zum vorherigen Abschnitt.

Es ist also unmöglich, dass \( n \) keine Quadratzahl und \( \sqrt{n} \) trotzdem rational ist. Oder anders gesagt: Ist \( n \) keine Quadratzahl, dann muss \( \sqrt{n} \) irrational sein.
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