Hallo Handfeger 0

Hier ist ein Beweis, der zwar etwas länger ist, aber dafür auf Teilbarkeit verzichtet.

Wir machen zunächst eine Vorüberlegung:

Wenn wir zwei Zahlen der Form \( a+b\sqrt{n} \) multiplizieren (mit \( a \) und \(b\) sollen hier und im Folgenden immer ganze Zahlen gemeint sein), dann erhalten wir wieder eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \), denn es gilt \( (a_1+b_1\sqrt{n} ) \cdot (a_2 +b_2 \sqrt{n} ) = (a_1 a_2 + b_1 b_2 n) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \sqrt{n} \).

Insbesondere lässt sich daraus folgern, dass auch die \(k\)-te Potenz einer Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) wieder eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) ist.

Nun zum Beweis:

Wir nehmen an, dass \(n\) keine Quadratzahl und trotzdem \( \sqrt{n} \) eine rationale Zahl ist.

Wir bezeichnen mit \(m\) die kleinste natürliche Zahl, die größer als \( \sqrt{n} \) ist (\( m \) ist also von \( \sqrt{n} \) aus gesehen die nächstgrößere natürliche Zahl). Damit definieren wir dann die Zahl \( z=m-\sqrt{n} \) (\(z\) ist also der Abstand von \( \sqrt{n} \) zur nächstgrößeren natürlichen Zahl).

Da \( z \) eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) ist (mit \(a=m\) und \(b=-1\)), muss somit nach unserer Vorüberlegung auch die \(k\)-te Potenz \( z^k \) eine Zahl der Form \( a+b\sqrt{n} \) sein. Da \( \sqrt{n} \) rational ist, können wir \( \sqrt{n} = \frac{p}{q} \) mit natürlichen Zahlen \( p \) und \( q \) schreiben, und wir erhalten somit \( z^k = a+b\sqrt{n} = a+b\frac{p}{q} = \frac{aq+bp}{q} \).

Da \( z \) nach Konstruktion positiv ist, muss auch \( z^k \) positiv sein. Wegen \( z^k = \frac{aq+bp}{q} \) muss dann aber auch \( aq+bp \) positiv sein, und da dies eine ganze Zahl ist, folgt sogar \( aq+bp \ge 1 \).

Insgesamt erhalten wir also \( z^k = \frac{aq+bp}{q} \ge \frac{1}{q} \). Das heißt: \( z^k \) wird (egal für welches \(k\)) niemals kleiner als \( \frac{1}{q} \).

Wenn \(n\) aber keine Quadratzahl ist, dann kann \( \sqrt{n} \) keine natürliche Zahl sein. Das hätte zur Folge, dass \( z < 1 \) ist. Damit wird jedoch \( z^k \) für größere \( k \) immer kleiner. Und irgendwann wird \( z^k \) sogar kleiner als \( \frac{1}{q} \). Das ist offensichtlich ein Widerspruch zum vorherigen Abschnitt.

Es ist also unmöglich, dass \( n \) keine Quadratzahl und \( \sqrt{n} \) trotzdem rational ist. Oder anders gesagt: Ist \( n \) keine Quadratzahl, dann muss \( \sqrt{n} \) irrational sein.

Wähle teilerfremde \(p,q\in \mathbb{N}\) mit \(\frac {p}{q}=\sqrt{n}\), wobei \(n\in \mathbb{N}\) keine Quadratzahl ist. Es gilt dann \(\frac {p^2}{q^2}=n\). Da \(\sqrt{n}\not \in \mathbb{Z}\) gilt, folgt \(q>1\). Da \(p^2\) und \(q^2\) teilerfremd sind, folgt nun der Widerspruch \(n\not \in \mathbb{Z}\).