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Wenn du den Wert der Reihe \( \zeta(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) kennst, dann kannst du die Aufgabe darauf zurückführen.
Es gilt
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \zeta(2) \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k+1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{(2k)^2} \) \( = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \frac{1}{2} \zeta(2) \)
und somit
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} = -\frac{1}{2} \zeta(2) = - \frac{\pi^2}{12} \)
Es gilt
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \zeta(2) \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k+1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{(2k)^2} \) \( = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \frac{1}{2} \zeta(2) \)
und somit
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} = -\frac{1}{2} \zeta(2) = - \frac{\pi^2}{12} \)
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