Wie rechne ich den Wert dieser Reihe

Aufrufe: 79     Aktiv: 25.05.2021 um 03:36

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Hat jemand einen Ansatz? Ich kenn leider bloß als Ansätze eine Geometrische Reihe oder eine Teleskopsumme.

`sum_{k=1}^infty(-1)^k/k^2`
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Sicher, dass du den Wert der Reihe bestimmen sollst und nicht die Konvergenz der Reihe beweisen musst? Ersteres ist mit deinen beiden Ansätze denke ich nämlich nicht möglich!   ─   1+2=3 24.05.2021 um 20:57

Ja es ist explizit nach dem Wert gefragt. Lässt sich das mittels Fourierreihen lösen?   ─   slizza 24.05.2021 um 20:59

Ja, das müsste denke ich funktionieren.   ─   1+2=3 24.05.2021 um 21:02

Wie setz ich dabei an? Wüsste nicht so recht wie ich das mache   ─   slizza 24.05.2021 um 21:06

Hm so ganz ohne Funktionsansatz ist das schwierig. Ich kenne solche Aufgaben nur aus dem Kontext, dass eine passende Funktion gegeben ist.   ─   1+2=3 24.05.2021 um 21:20

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Wenn du den Wert der Reihe \( \zeta(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) kennst, dann kannst du die Aufgabe darauf zurückführen.
Es gilt
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \zeta(2) \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k+1}{k^2} \) \( = \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{(2k)^2} \) \( = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \) \( = \frac{1}{2} \zeta(2) \)
und somit
\( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} = -\frac{1}{2} \zeta(2) = - \frac{\pi^2}{12} \)
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