Es geht unter anderem um die Frage wie ich bei einem Vektor zeige, dass er Linear ist.

Aufrufe: 605     Aktiv: 26.08.2021 um 18:22
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Sei f:R^4 nach R^2 mit f (( x1 x2 x3 x4) ) = ( x1+x2+x3
                                                                      x2+x3+x4)    Bei den ersten Klammern sind die äuseren richtig. Die inneren sind Vektorklammern von oben nach unten, d,h, x1 bis x2 steht eigentlich untereinander.

a) Zu zeigen, dass f linear ist

b) Bestimmen Sie eine Matrix A, so dass f(x) = Ax für alle x e R^4 gilt.
von 
c) Bestimme eine Basis von Kern(f)

d) Zeigen SIe,  dass f surjektiv,aber nicht injektiv ist.

e) Bestimmen Sie cMb(f) für b= ((1 0 0 1),(1 0 1 0), ( 1 -1 0 0), (1 0 0 0)) und C =((1 0),(0 1)).

auch hier sind die erste undie letzte Klammer  richtig. Alles ander wird untereinander geschrieben mit entsprechenden Klammern.
Bei a) wieß ich zunächst nicht, was ich hdb) ier machen kann. Bei b) geht es so weit ich noch weiss um die Nullvektoren, ob das jetzt so richtig ist?

d) wusste ich gaub ich mal, kann mich aber nicht mehr daran erinnern.

e) Mit der Frage komme ich auch wegen der Bezeichnung cMb nicht klar. Das b hinter dem M ist soll wie das b vor dem= ein großes b sein, dass M aber deutlich größer, umdas ganze etwas besser wie ich hoffe zu beschreiben.
Danke im Voraus für eine Hilfestellung!
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a) Um zu zeigen, dass eine Abbilung $f$ linear ist, muss man zwei Eigenschaften zeigen, nämlich 
1. $f(\lambda v)=\lambda f(v)$
2. $f(v+w)=f(v)+f(w)$

Einsetzen und ausrechnen. 

b) Gesucht ist die Abbildungsmatrix der Abbildung. Mit etwas Übung kann man das ablesen. Andernfalls: Basisvektoren in die Funktion einsetzen. Die Ergebnisvektoren liefern dann die Spalten. 

c) Welche Vektoren werden alle auf den Nullvektor abgebildet?

d) Dann schlag nochmal nach, was die Begriffe bedeuten und welche Sätze es da gibt, um das zu zeigen. 

e) $CMB(f)=M_C^B(f)$ ist die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C$. Funktioniert ähnlich wie b). 

Grundsätzlich: Wenn man Dinge vergessen hat, sollte man sie einfach nochmal nachschlagen. Auch kann man sich entsprechend Aufgaben und Beispiele nochmal ansehen. Wenn man dann nicht weiterkommt, kann man die Fragen konkretisieren.

Ich hoffe, du kommst mit den Tipps erst einmal weiter.
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Erst mal Danke für die sehr schnelle Reaktion. Es ist natürlich schon richtig bei bestimmten Dingen nachzuschlagen was im Skript steht. Da ich an der Fernuni studiere gibt es hier natürlich auch einen Skript. Aber das weniger schöne daran ist eben, dass hier immer relativ schnell kreuz und quer Fragen gestellt werden und ich erst nach einigen Monaten durch einen Umzug endlicjh ein sicheres Wlan habe. Aber zurück zu meinen Fragen: Bei der a) irritiert mich, dass bei dem zweiten Klammerausdruck in der oberen Zeile x1 +x2+x3 und direkt darunter
x2+x3+x4 steht. Und ich weiß jetzt nicht wie ich hier ein lamba als eine reelle Zahl einsetzten soll um dann sowohl die Addition als auch die Multiplikation zu zeigen.   ─   atideva 25.08.2021 um 22:02

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Ich würde zuerst erst die (b) machen, da muss du einfach nur die Zurodnungsvorschrift in eine Matrix übersetzen. Hieraus folgt dann nämlich direkt (a), falls das nicht bewiesen wurde, beweise kurz als Einzeiller, dass eine Abbildung der Form \(Ax\) linear. Bei (c) löst du das homogene LGS \(Ax=0\). Die (d) folgt direkt aus (c). Bei Aufgabe (e) sollst du die Darstellungsmatrix von Basis \(\mathfrak{C}\) nach Basis \(\mathfrak{B}\) bestimmen (oder umgekehrt; schau in dein Skript). Ich hoffe das gibt dir einen Überblick über die Aufgabe. Ich helfe dir gerne bei weiteren konkreten Fragen weiter.
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Naja, es ist wesentlich komfortabler im Zweifelsfall die Linearität für Abbildungen der Form \(f(x)=Ax\) zu zeigen.   ─   mathejean 26.08.2021 um 09:15
Wieso gibt es denn da nichts zu zeigen? Sofern nicht in der Vorlesung bewiesen wurde, dass solche Abbildungen linear sind, sollte man auch das zeigen: $$f(\lambda v +w)=A(\lambda v +w)=A\lambda v +Aw=\lambda A v +Aw=\lambda f(v)+f(w)$$   ─   mathejean 26.08.2021 um 15:56

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Ich versuche mal, in Bezug auf a) etwas grundsätzlicheres zu sagen. Falls das alles kein Problem sein sollte, was ich hier vermute, dann ignoriert mich einfach.

Aufgrund der Formulierung der Überschrift diese Frage vermute ich ein grundsätzlicheres Verständnisproblem. Sinngemäß steht da ja, dass der Vektor linear sein soll,

Erstmal soll gezeigt werden, dass die gegebene Abbildung(!) linear ist. Dazu werden die üblichen Definition in der Vorlesung gemacht, die wurden ja auch in den anderen Antworten schon zitiert.

Die üblicherweise am Anfang bei Übungsaufgaben auftauchenden linearen Abbildungen sind so einfach gestellt, dass der Zielvektorraum häufig der $\mathbb{R}^1$ ist. Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass bei einer linearen Abbildung immer eine Zahl herauskommt. Logischerweise entsteht dann Verwirrung, wenn da "plötzlich" ein Ergebnisvektor mit mehreren Zeilen auftaucht. (Möglicherweise wäre es didaktisch hilfreich, die Ergebnisse bei Abbildungen in den $\mathbb{R}^1$ auch in Klammern zu notieren, also als einzeiliger Spaltenvektor, obwohl diese Klammern nicht zwingend erforderlich sind ... vielleicht ist es auch nicht hilfreich...)

Das Vorgehen ist anschließend aber überhaupt nicht neu oder anders:

Entweder: Du machst das gleiche wie sonst auch, zuerst für die erste Zeile, danach für die zweite Zeile.
Oder: Du machst beide Zeilen gleichzeitig und schreibst alles in Vektor-Schreibweise hin (das ist das Ziel, was am Ende gekonnt werden sollte).
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