Quadratische Gleichung mit Komplexen Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 153     Aktiv: 25.11.2023 um 16:14

0


Hallo, 
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht wieter komme.
Bisher habe ich folgendes:

Durch eine umwandlung der Wurzel in Polarkoordinaten habe ich das hier erhalten:

Das eingesetzt in die Mitternachtsformel ergibt:

Ich komme ab hier nicht mehr weiter, weil ich mich im Kreis gedreht habe und mit dem Ergebniss nicht mehr weiter arbeiten kann. Damit ich die Winkel aus der Ploar Koordinatenform für Z1/2 herauskriegen kann, muss ich das Ergebniss, welches ich ob berchnet habe, in z=a+ib bzw. z=x+iy umwandeln, um dadurch z=r*e^(i*phi) mit z=x+iy und so phi für z1 und z2 herauszukriegen. Wo liegt mein Fehler bzw. Wie kann ich hier weiter rechnen um phi herauszukriegen für z1 und z2?
gefragt

Punkte: 14

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Ich weiß nicht, warum der Hinweis hier in Richtung Polardarstellung geht.
Du suchst also eine komplexe Zahl, deren Quadrat $16+30\,i$ ist. Ansatz:
$(u+v\,i)^2=16+30\,i$. Das gibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, löse das und rechne damit weiter die beiden $z$'s aus. Damit verlässt Du die kartesische Darstellung erst gar nicht.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.45K

 

Ich habe für z: 5+3i und -5 +3i erhalten. Das Problem ist, dass ich diese Werte wieder in die Mitternachtsformel einsetzen muss: z1,2= -1 +5i +-(3i+-5)/2. Dementsprechend ergeben sich aus der Mitternachtsformel 4 Gleichungen mit 4 unterschiedlichen Lösungen, wobei ich nur 2 herauskriegen müsste wegen der Quadratischen Gleichung. Übersehe ich etwas oder stimmt meine Vermutung? Alle Winkel die ich herauskriege durch die Umwandlung von den 4 z's in Polarkoordinaten liegen weiterhin im angegebenen Intervall (-pi,pi].   ─   doritos 25.11.2023 um 15:32

Verwende nicht die Bezeichnungen z zweimal in derselben Aufgabe, wenn Du keine weitere Verwirrung suchst. Es gibt genügend andere Buchstaben.
$5+3i$ für $u+vi$ stimmt, die andere Lösung nicht (Probe ist stets sinnvoll).
Nennen wir die beiden Lösungen mal $w_1,w_2$, dann ist $z_{1,2}=\frac12 (-1+5i+w_{1,2})$, was zwei Lösungen gibt. Das wäre ein sauberes Vorgehen. Wurzelzeichen mit komplexen Zahlen drunter ist fragwürdig.
Kurz und sauber wäre: $z_{1,2}=\frac12 (-1+5i+w)$, wobei $w^2=(16+30i)$ (und dann $w$ wie besprochen ausrechnen).
Bei richtiger Rechnung ist auch $w_1=-w_2$, dann kam man auch mit einer der beiden Wurzeln und $\pm$ davor arbeiten.
Und was willst Du noch mit Winkeln? Brauchst Du doch gar nicht.
  ─   mikn 25.11.2023 um 15:43

Ja, ich sehe mein Fehler: Ich habe jetzt als Endergebnis 2+4i und -3+i. Die Winkeln werden von uns gefordert, damit wir die beiden Gleichungen in Polarkoordinaten umrechnen und so das phi herausrechnen. Deshalb steht der Hinweis da. Es steht nicht explizit da, aber in den Aufgaben zuvor musste man das stets machen. Da war auch der Hinweis angegeben. Für phi kriege ich dann: p1=arccos(2/sqrt(20)) und p2=arccos(-3/sqrt(10)). Danke für die Hilfe! (PS: Ich verzweifele mittlerweile an der nächsten Aufgabe)   ─   doritos 25.11.2023 um 16:08

1
Dein Endergebnis hab ich nicht nachgerechnet (mach selbst die Probe!). In der Aufgabe wurden keine Winkel gefordert. Und das Endergebnis war in kartesischen Koordinaten gefordert, was Du gemacht hast.
Oberste Regel: Mach nichts, was in der Aufgabe gar nicht verlangt ist (und schon gar nicht in einer Klausur).
Generell kann man bei allgemeinen Wurzeln gut mit der Polarform arbeiten, besonders bei dritten, vierten usw. Wurzeln. Bei zweiten Wurzeln, insb. mit "krummen" Zahlen, ist das oft umständlich.
  ─   mikn 25.11.2023 um 16:14

Kommentar schreiben