Uneigentliche Integral von der Glockenkurve

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 26.04.2021 um 09:06

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Hallo, ich brauche dringend Unterstützung. Wie kann ich das uneigentliche Integral von -♾ und +♾ der Gauß'schen Glockenkurve berechnen bzw. nicht berechnen und weshalb gelingt das nicht. 

Dem Mathekurs sind bereits die Substitutionsregeln beim Integrieren bekannt.

VG und Danke im Voraus 

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Da das Integral sehr bekannt und wichtig ist, wurden sehr viele Wege gefunden, es zu berechnen. Bekannte, recht einfache Wege, involvieren Polarkoordinaten. Es gibt auch elementare Wege, die sind aber sehr umständlich und ich würde nicht erwarten, dass man da selbst drauf kommt. Ich gebe mal einen Überblick über einen möglichen Lösungsweg, der mir einfällt und der keine besonderen Vorkenntnisse außer Substitution und partieller Integration voraussetzt.

Aus den Ungleichungen \(1-t\leq e^{-t}\) und \(1+t\leq e^t\) (die sind sehr bekannt und können, falls nicht bekannt, auch recht einfach gezeigt werden), kann man die Ungleichungen $$\int_0^{\sqrt m}\left(1-\frac{x^2}m\right)^m\,dx\leq\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\leq\int_0^\infty\left(1+\frac{x^2}m\right)^{-m}\,dx$$ für alle \(m\in\mathbb N\) herleiten. Mittels der Substitutionen \(x=\sqrt m\sin t\) im linken und \(x=\sqrt m\tan t\) im rechten Integral (jeweils mit \(t\in[0,\frac\pi2]\), kann man die äußeren Integrale auf Integrale der Form \(I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx\) zurückführen. Für diese kann man mit partieller Integration zunächst eine Rekursionsformel und damit die direkten Formeln $$I_{2n}=\frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\text{ und }I_{2n+1}=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$$ herleiten. Dadurch und durch Betrachtung des Grenzwertes von \(\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\) kann man dann für \(m\to\infty\) die beiden Integrale auswerten und landet bei dem gleichen Wert, sodass man damit auch den Wert von \(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\) gefunden hat.

Selbst mit Anleitung ist das aber nicht einfach, das war (mit Anleitung) eine Aufgabe in meiner Analysis-Vorlesung im ersten Semester. Meine Rechnung ist (getippt) ungefähr drei Seiten lang. Vielleicht kennt jemand ja noch einen einfacheren Weg, wie gesagt, es gibt alle möglichen Herangehensweisen an das Gauß-Integral.
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Wow, danke.
Das hört sich sehr komplex an, ich versuche es nachzuvollziehen, aber auf ein Endergebnis zu kommen ist wahrscheinlich sehr zeitaufwendig. Wahrscheinlich auch ein wenig zu komplex für die 11 Klasse, aber ich werde mich bemühen..:)
  ─   userb37554 23.04.2021 um 19:38

mmh, ich habe es leider nicht verstanden... schade, ich glaube, dass die Aufgabe zu viel über dem Niveau ist. Was partielle Integration ist und wie man die Substitution nutzt ist mir klar, aber von Rekursionsformel habe ich leider noch nicht gehört. Die Aufgabe ist Teil eines Referates und es ist warscheinlich, auch wenn ich es verstehe, nicht möglich das den anderen auf die schnelle zu erklären... :/ schade, aber danke für den Vorschlag
  ─   userb37554 25.04.2021 um 12:52

Wenn es Teil eines Referats ist, dann sollst du wahrscheinlich nur das Ergebnis nennen und nicht vorrechnen. Auf keinen Fall kann man das in einem Referat machen.   ─   stal 26.04.2021 um 09:06

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