Potenzreihen und erzeugende Funktionen

Aufrufe: 296     Aktiv: 15.01.2024 um 12:43
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Hallo liebe Mathe Community,
ich lerne momentan das Thema Potenzreihen für eine anstehende Klausur, ich verstehe nur folgenden Punkt nicht zwischen zwei Aufgaben:

Bei dieser Aufgabe sieht man ganz klar das um vom n>=2 auf die n>=0 zu kommen noch ein x abgezogen wird.

Hier wird jedoch nachdem das x aus dem x^n gezogen und die Summe dann auf n>=0 gesetzt wird nichts mehr von dem Index 2 und 1 abgezogen.

Ich bin total verwirrt und weiß nicht was ich übersehe.

Mein eigentliche Frage lautet wie diese Schritte zustande kommen? Oft wird bei uns in den Lösungen paar Schritte übersprungen, was ich total Schade finde.

Freue mich über jegliche Hilfe :)

(Tags funktionieren leider nicht wie sie sollen, konnte nur #basis angeben)
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Das ist keine Aufgabe, sondern eine Umformung in einer Lösung. Der Unterschied ist, dass in der Aufgabenstellung (die Du nicht mitlieferst) entscheidende Angaben stehen, die diese Umformung (beide, die bei A(x) und auch bei P(x)) erklären. Also, liefere die mal nach (oben "Frage bearbeiten").
Generell: Beim Summenzeichen hilft meist das Ausschreiben des Summenzeichens (ist ja nur ein Abkürzungssymbol). Dann wird - zusammen mit den hier fehlenden Angaben - sofort alles klar.
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Oh ja, das stimmt, die Aufgabenstellung ist natürlich auch wichtig dafür, mein Fehler..
zu dem ersten Bild:

Wir betrachten die Rekursionsgleichung an = a_n−1+a_n−2+a_n−3 für n ≥ 3 mit Anfangswerten a0 = 0, a1 = 1 und a2 = 1. Drucken Sie die zugehörige erzeugende Funktion A(x) = Sigma_n≥0 a_n * x^n
als rationale Funktion aus, d.h. finden Sie Polynome f(x) und g(x)
mit A(x) = f(x)/g(x)

nun die vom zweiten Bild:

Die Pell-Zahlen sind definiert durch P0 = 0, P1 = 1 und Pn = 2P_n−1 + P_n−2 für alle n≥2.
Bestimmen Sie die erzeugende Funktion der Folge (Pn)n∈N0 als rationale Funktion.

Hoffe damit kannst du mir ein wenig weiterhelfen :)   ─   yungcrash 15.01.2024 um 12:36
Mit dem Tipp oben ("Generell: ..."), zusammen mit den Angaben zu a0, a1, a2 (bzw. P0, P1) sollte alles klar werden.   ─   mikn 15.01.2024 um 12:43

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