Differenzialgleichung, dringende Lösungshilfe

Aufrufe: 251     Aktiv: 13.03.2022 um 16:49

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Hallo zusammen, ich benöte dringende Hilfe der Lösung dieses Nachweises.
Ich hatte den Ansatz, f(x) abzuleiten und so umzustellen, dass es die Differenzialgleichung wird... es gibt aber bestimmt auch einfachere Möglichkeiten
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Es ist nur einzusetzen in die geg. Dgl und zu prüfen, ob die erfüllt ist. Umstellen ist nicht nötig. Das ist wie eine Probe bei der Lösung von anderen Gleichungen.
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wie weiß ich, dass sie erfüllt ist? Entspricht sie dann der Ableitung?   ─   llit808 12.03.2022 um 12:56

Das ist eine Gleichung. Wenn auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht, ist sie erfüllt.   ─   mikn 12.03.2022 um 13:12

das ist natürlich klar, aber war der Ansatz, f' zu bilden, also richtig? Muss also auf der einen Seite f' stehen und auf der anderen die Dgl mit f(x) eingesetzt (sollte ja f' entsprechen !?) ?   ─   llit808 12.03.2022 um 14:14

Das scheint eben nicht klar zu sein. Häng Dich nicht an der Ableitung auf.
Berechne alle Größen, die in der Gleichung vorkommen und setze ein.
Wenn f' in der Gleichung steht, brauchst Du f'. Wenn ein Integral vorkommt, brauchst Du ein Integral. Das Prinzip der Aufgabe ist für alle Gleichungen dasselbe.
Genauso wie: Weise nach, dass $x=3$ die Gleichung $x^2-2-2x=1$ erfüllt.
PS: "...auf der anderen die Dgl..": Nein, auf der anderen Seite steht nicht die Dgl. Sonst würden ja in der Zeile zwei =-Zeichen vorkommen. Mach Dir klar, was eine Gleichung ist.
  ─   mikn 12.03.2022 um 14:31

vielen Dank schonmal für die Mühe, ich glaube hier liegt ein ganz blödes Missverständnis vor.
1) "Berechne alle Größen und setze ein" > wie soll man die Größen berechnen? Es gibt 4 Unbekannte und Sinn der Aufgabe ist doch eine allgemeine Lösung aufzuzeigen (dachte ich)
2) Ich würde einfach in die DGL f(x) einsetzen, nur was ist dann mein Ergebnis? Nur durch Einsetzen habe ich doch noch keinen Beweis, oder? Es würde ja dort stehen f' = ..., nur wie löse ich diese Gleichung? f' und f sind ja nicht dasselbe
  ─   llit808 12.03.2022 um 16:14

Nein, Du sollst eben keine allgemeine Lösung herleiten. Du sollst die Probe machen.
1. "Berechne alle Größen": Die, die eben möglich sind. Die anderen lässt man wie sie sind.
2. Setz doch mal ein statt "ich würde...", mach doch mal was anstelle zu überlegen, was passierern würde, wenn Du was machst. Setz in die Dgl ein, die ausrechenbaren Größen, was erhälst Du?
  ─   mikn 12.03.2022 um 16:19

das ist mein Problem, ich sehe eine logistische Funktion und 4 Unbekannte und komme auf keine einzige. F(0) zB wäre S/1+a aber das hilft mir auch nicht weiter..
Wie errechnet man diese Werte wie zB die Schranke, die Wachstumskonstante, den Anfangswert? Ich sehe dort keine Möglichkeit, da es in der allgemeinen Form steht und ich keinerlei Zusatz-Informationen habe. Oder soll ich mir selbst beliebige Werte ausdenken?
  ─   llit808 12.03.2022 um 18:50

Lies nochmal meinen vorigen Kommentar unter 1. ,
Dann teile die 4 Unbekannten f(x), f'(x), S, K ein in die, die Du ausrechnen kannst und die, die Du nicht ausrechnen kannst. Tipp: Es sind jeweils zwei. Beachte nochmal 1. aus meinem Kommentar. Dann setze ein. Was erhälst Du?
  ─   mikn 12.03.2022 um 19:14

ich verstehe nicht, wie das gehen soll, ich bekomme dort keinen ausgerechnet und vor allem nicht ohne Umstellen. Könntest Du mir bitte einen konkreten Anfang zeigen? Ich sitze dort nun schon den ganzen Tag dran   ─   llit808 12.03.2022 um 19:42

Ich kann Dir immer nur das gleiche sagen: Noch konkreter: Fülle die Pünktchen aus:
f(x)=..., f'(x)=.... S und K lassen wir als S bzw. K. Setze dann alles ein. Dann sehen wir weiter. Du hast bisher noch nichts gemacht, außer "was wäre wenn...,", "wie ginge es weiter, wenn...," Man fängt mit dem ersten Schritt an. DANACH (nicht vorher) schaut man, was noch zu tun ist.
  ─   mikn 12.03.2022 um 19:49

f(x)= S/1+ae^-kx
f'(x)= k^2 * S^2 / 1 + ae^-kx (f(x) eingesetzt)
Da der Nenner von f' bereits dem von f entspricht, nehme ich an, dass im Zähler nur noch ein Rechenfehler vorliegt, richtig? Wenn das der richtige Weg ist, reicht mir das schon als Hilfe
  ─   llit808 12.03.2022 um 20:10

Immerhin, es geht voran. Bei Deinem f(x) fehlen Klammern (Tippfehler?).
Die Ableitung stimmt allerdings an mehreren Stellen nicht. Korrigiere das (Kettenregel.... innere Ableitung....). Dann.... Du ahnst es schon.... setze in die Dgl ein.
  ─   mikn 12.03.2022 um 20:20

das f' ist die Dgl, keine Ableitung von mir;
Man löst die Dgl also entweder, indem man f dort einsetzt, zusammenfasst und dann auch f kommt, oder man leitet f ab und setzt dies dann mit der Dgl gleich, wobei beide gleich sein müssen ?! Mir geht es nur um den Zusammenhang und das Verstehen, Mathefehler findet man online denke ich nur schwer.
  ─   llit808 12.03.2022 um 20:30

Ohje, wir sind keinen cm weiter.
In der Aufgabe ist f(x) gegeben. Mehr nicht. Fülle die Pünktchen aus.
DANACH kommt die Dgl ins Spiel.
Du sollst die Dgl nicht lösen, hab ich vor 5:26 Stunden schon gesagt.
Dann mach bitte erst folgende Vorübung: Gegeben ist $f(x)=\sin (ax)$. Zeige, dass $f$ eine Lösung der Gleichung $f(x)=f(x+\frac{2\pi}a)$ ist.

  ─   mikn 12.03.2022 um 21:52

vielen Dank für die Mühe, ich hatte noch nie mit so einer Aufgabenstellung zu tun. Zur Vorübung ist mir nur sin(ax)=f(x+2pi/a) eingefallen, ich komme allerdings nicht weiter.

Zur logistischen Funktion (die Aufgabe muss morgen abgegeben werden, daher dränge ich auf eine Lösung): f'(x)= Skae^-kx / (1+ae^-kx)^2
  ─   llit808 13.03.2022 um 15:22

Zur Vorübung: Das passt dazu, weil es bei Dir weiterhin hakt. Weißt Du, was in der Schule "Probe machen" heißt? Wenn man z.B. eine quadratische Gleichung hat, diese gelöst hat, und dann mit den beiden Lösungen die Probe macht (wozu man den Lösungsweg gar nicht braucht). Genau um das geht es hier.
Zur Dgl: Ableitung stimmt. Und nun..... einsetzen in die Dgl. Schaffst Du das?
Es ist erstmal eine reine Abschreibübung (nachdem das Ableiten erfolgreich war). strings (Zeichenketten) werden durch andere strings ersetzt.

  ─   mikn 13.03.2022 um 15:38

Vorübung: ja, mir ist das Prinzip bekannt, ich sehe nur nicht wo ich dort etwas einsetzen könnte bzw. wie man f(x) lösen würde.

f(x) eingesetzt in Dgl ergibt: kS/S+Sae^-kx * S - S/ 1+ae^-kx
  ─   llit808 13.03.2022 um 16:12

Streich das Wort lösen. Hier ist nichts zu lösen. Und Funktionen und Terme kann man nicht lösen.
Eingesetzt: Ich weiß nicht, was Du gemacht hast. In die Dgl eingesetzt nicht, denn ich sehe keine =-Zeichen. Und verwende Klammern wo sie hingehören.
  ─   mikn 13.03.2022 um 16:15

Es heißt ja, dass f eine Lösung der Gleichung ist, daher meinte ich lösen, mir ist aber bewusst dass ich nicht lösen muss, sondern nur einsetzten. Aber was in was?

f'(x)= kS/(S+Sae^-kx) * (S - S/ (1+ae^-kx))
  ─   llit808 13.03.2022 um 16:20

Es geht minimal voran. Beide, f(x) und f'(x) in die Dgl. einsetzen. strings gegen strings austauschen. Die Dgl hat die Form f'(x)=blabla f(x) blabla f(x). Einsetzen.   ─   mikn 13.03.2022 um 16:27

Hut ab, für deine Geduld @mikn...   ─   cauchy 13.03.2022 um 16:28

@cauchy: Danke. Fällt nicht immer leicht. Manchmal hat man das Gefühl man redet mit einem von Sozialwissenschaftlern installierten chatbot, die eine Studie machen... Naja, Du kennst das ja auch.   ─   mikn 13.03.2022 um 16:30

@mikn: ebenfalls Kompliment (ernstgemeint)   ─   scotchwhisky 13.03.2022 um 16:33

@scotchwhisky danke   ─   mikn 13.03.2022 um 16:47

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