Zu Aufgabe 2): Verwende die Formel aus der ersten Aufgabe. Was weißt du über den Schnitt, wenn die Summe zweier Untervektorräume direkt ist?

Zu Aufgabe 3): Zunächst musst du \(\ker f+Im\ f=V\) zeigen, dabei ist die Inklusion "\(\subseteq\)" klar, da die Summe zweier Unterräume stets wieder ein Unterraum ist. Für "\(\supseteq\)" musst du also für ein beliebiges \(v\in V\) zeigen, dass es \(u\in\ker f,w\in Im\ f\) gibt, sodass \(v=u+w\) gilt. Versuch selber mal, solche \(u,w\) zu finden (du musst dabei die gegebenen Eigenschaften \(f\) verwenden).

Danach musst du noch zeigen, dass die Summe direkt ist, also dass der Schnitt trivial ist. Nimm dir dazu also ein \(v\in\ker f\cap Im\ f\). Was weißt du dann alles über \(v\)? Du musst irgendwie folgern, dass \(v=0\) gilt. Alternativ kannst du auch die Dimensionsformel für lineare Abbildungen benutzen (falls du diese kennst).