Hallo,

du hast ja eine Abbildung die ein Polynom auf einen Vektor abbildet, der die Koeffizienten als Koordinaten hat. 

Fangen wir mit der Linearität an: Du willst zeigen, dass $L(\lambda P + Q) = \lambda L(P) + L(Q) $ gilt. Wie sieht denn $\lambda P+ Q$ aus? Was ist das überhaupt was da rauskommt? Wie bildet die Abbildung $L$ das ab?

Injektivität: Ein guter Ansatz ist immer bei $L(P_1) = L(P_2)$ anzufangen und am Ende auf $P_1 = P_2$ zu kommen. Wie weit kommst du dabei?

Surjektivität: Es wirkt vielleicht nicht so, aber das ist eigentlich der einfachste Part. Warum wird denn hier auf jeden Vektor aus dem $\mathbb R^{n+1}$ abgebildet?

Grüße Christian