Häufungspunkte von Mengen

Aufrufe: 27     Aktiv: 03.05.2021 um 20:31

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Hallo zusammen,

ich habe noch ein paar Schwierigkeiten bei Häufungspunkten von Mengen. Es geht um Aufgabe 4


Nach unserer Definition ist ein Punkt \(p \in X\) ein Häufungspunkt einer Menge \(M \subset X\), wenn für jede Umgebung \(U\) von \(p\) gilt,
$$ U \cap (M\backslash \{p\}) = \emptyset $$
Also jede Umgebung von \(p\) beinhaltet mindestens einen weiteren Punkt. 

Ich habe folgende Ideen:
(i) Ich denke jeder Punkt aus \( B_1(0) \) ist Häufungspunkt.
Sei \( p \in B_1(0) \), dann ist \( B_{k}(p) \) mit \(k < 1-|p| \) eine Umgebung von \(p\), die komplett in \( B_1(0) \) liegt. Damit ist dann 
$$ B_k(p) \cap ( B_1(0) \backslash \{p\}) = B_k(p)\backslash \{p\} \neq \emptyset $$

Nun kann es aber auch andere Umgebungen geben oder? Wie gehe ich damit um? 

(ii) Ich würde sagen, dass diese Teilmenge keinen Häufungspunkt besitzt. 
Sei \( z \in \mathbb{Z} \). Dann ist \( B_{\frac 1 2 }(z) \) eine Umgebung von \( z \) (ich verstehe es doch richtig, das die Umgebung im Prinzip in \( \mathbb{C} \) liegen muss und nicht in \( M_2\) oder?)
Es gilt aber
$$ B_{\frac 1 2 }(z) \cap (\mathbb{Z} \backslash \{z\} ) = \emptyset $$
Somit existiert eine Umgebung, in der nur der Punkt \( z \) liegt und kein weiterer Punkt.


(iii) Hier bin ich mir sehr unsicher, aber ich denke dass nur die Null Häufungspunkt ist.
\(0 \in M_3 \) ist Häufungspunkt, denn für jede Scheibe \( B_\varepsilon(0) \) gilt 

$$ B_\varepsilon \cap M_3 \backslash \{0\} = \left\{ \frac {i^n} n : \frac 1 \varepsilon < n \in \mathbb{N} \right\} $$

Mein Problem ist, ich argumentiere hier wieder nur mit Hilfe von Scheiben. Finde es schwer, das auf allgemeine Umgebungen zu übertragen. Ich überlege auch ob es eine Umgebung gibt, die die Achsen außer im Ursprung nicht berührt. Würde sagen nein, aber kann das nicht so wirklich begründen. 

Das alle anderen Elemente aus \( M_3 \) keine Häufungspunkte sind, würde ich ähnlich wie bei \( M_2 \) begründen:
Die Elemente der Menge liegen auf den Achsen. Für alle \( n \) mit \( n+3 \) ist durch \( 4 \) teilbar, sind wir auf der positiven imaginären Achse. Alle \(n \) mit \( n+2\) durch\( 4 \) teilbar auf der positiven reellen Achse usw. Betrachten wir deshalb \( \frac {i^k} k \in M_3 \), dann ist in jeder Scheibe mit einem Radius kleiner als \( \frac 1 k - \frac 1{k+4} = \frac 4 {k(k+4)} \) kein weiteres Element aus \( M_3 \). 

Also zusammengefasst: Ich denke die Ausarbeitungen gehen schon in eine gar nicht so schlechte Richtung, allerdings führe ich die Beweise nur mit Hilfe von offenen Kreisscheiben. Wie übertrage ich das auf allgemeine Umgebungen? 

Ich bedanke mich schon mal im voraus für jegliche Hilfe.
Liebe Grüße

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1 Antwort
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Jede Umgebung von \(z_0\) enthält per Definition ja eine offene Kreisscheibe um \(z_0\), das ist also überhaupt kein Problem. Du hast aber ein anderes Problem: Es können auch Punkte Häufungspunkte sein, die nicht zur Menge selber gehören, wie z.B. die \(0\) bei (iii). Das heißt, du müsstest bei der (ii) auch begründen, warum jedes \(z\in\mathbb C\) kein Häufungspunkt ist, und bei der (i) hast du noch gar nicht alle Häufungspunkte gefunden.
Wenn du das berücksichtigst, kannst du (i) sehr gut mit Umgebungen bzw. offenen Kreisscheiben lösen. Bei (ii) geht das genauso, aber man kann hier auch sehr schön die Aussage aus Aufgabe \(3\) verwenden: Angenommen, \(z\in\mathbb Z\) ist ein Häufungspunkt von \(M_2\). Dann gibt es eine Folge \((z_n)_n\subset M_2\setminus\{z\}\), die gegen \(z\) konvergiert. Eine Folge mit Werten in \(\mathbb Z\) kann aber nur konvergieren, wenn sie stationär wird (sonst ist der Abstand von aufeinanderfolgenden Folgengliedern \(\geq1\), also ist die Folge nicht Cauchy). Aber das kann unter unseren Annahmen nicht sein.
Bei der (iii) ist es wahrscheinlich am einfachsten, über Folgen zu argumentieren. Zeige, dass eine Folge, die nicht stationär wird und konvergiert, gegen \(0\) konvergieren muss. Daraus folgt sofort, dass \(0\) der einzige Häufungspunkt ist. Auch hier wäre es natürlich möglich, für jeden Punkt außer \(0\) eine Umgebung anzugeben, die \(M_3\) nicht schneidet, aber das ist irgendwie mühsam und du musst viele Fälle unterscheiden.
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Ah ja ok das macht Sinn. Schon mal eine Erleichterung :D

Ist bei (i) noch jeder Punkt vom Rand Häufungspunkt?
(ii) oh ja das ist vermutlich auch so gedacht mit der Aufgabe 3 davor, haha. Schöne Lösung.
Über die (iii) muss ich mal noch etwas nachdenken. Aber ist ja schon mal gut, dass ich prinzipiell eine Lösung habe. Werde aber mal versuchen noch über Folgen zu argumentieren als Übung. Falls ich nochmal eine Frage habe, würde ich mich nochmal melden.

Erstmal vielen lieben Dank für deine schnelle Hilfe :)
  ─   chris2001 03.05.2021 um 20:31

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