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Erstmal zur b), die ist eigentlich recht einfach. Mit Logarithmusgesetzen kannst du das umformen zu $$f(x,y)=\frac13\ln x-\ln y$$ und jetzt sollte die Ableitung kein Problem mehr sein.
Die a) ist ein bisschen schwerer. Wie schon in den Kommentaren angedeutet wurde, schreibe \(4^{2x}=(e^{\ln4})^{2x}=e^{2\ln 4\cdot x}\) Jetzt kannst du mithilfe der Produktregel z.B. nach \(x\) ableiten: $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}e^{2\ln 4\cdot x}\cdot\ln(x^2-3y)+4^{2x}\cdot\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2-3y)=2\ln 4\cdot e^{2\ln 4\cdot x}\ln(x^2-3y)+4^{2x}\frac{2x}{x^2-3y}=2\ln 4\cdot 4^{2x}\ln(x^2-3y)+4^{2x}\frac{2x}{x^2-3y}$$ und die Ableitung nach \(y\) sollte eigentlich recht einfach sein.
Die a) ist ein bisschen schwerer. Wie schon in den Kommentaren angedeutet wurde, schreibe \(4^{2x}=(e^{\ln4})^{2x}=e^{2\ln 4\cdot x}\) Jetzt kannst du mithilfe der Produktregel z.B. nach \(x\) ableiten: $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}e^{2\ln 4\cdot x}\cdot\ln(x^2-3y)+4^{2x}\cdot\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2-3y)=2\ln 4\cdot e^{2\ln 4\cdot x}\ln(x^2-3y)+4^{2x}\frac{2x}{x^2-3y}=2\ln 4\cdot 4^{2x}\ln(x^2-3y)+4^{2x}\frac{2x}{x^2-3y}$$ und die Ableitung nach \(y\) sollte eigentlich recht einfach sein.
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stal
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