Rechnen mit Matrizen

Aufrufe: 160     Aktiv: 09.08.2021 um 09:13

3

Liebes Mathefragen-Team,
könnt ihr mir erklären, warum ich zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Nuller in der Hauptdiagonalen durch -1 ersetze (so war es bei der Lösung einer Probeklausur Grundlagen Mathematik für Informatiker angegeben)? Warum nicht durch 1?

Und warum ist die Lösungsmenge hier auf diese Weise angegeben???

Dank und Gruß
Hannah

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 127

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0
Um nochmal das Vorgehen in der Lösung zu erläutern: Die erweiterte Koeffizientenmatrix wurde im ersten Schritt durch elementare Umformungen  in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, diese wird hier nur Treppennormalform genannt. Im zweiten Schritt wurde die Nullzeile vertauscht,  dies liegt daran, dass die nicht 0 Elemente der rechten Seite mit den Pivot-Elementen/führenden Einsen korrespondieren. Jetzt kann man eine Lösung ablesen. Im letzten Schritt wurde eine Lösung des homogenen LGS gesucht, durch Resubstitution folgt hier die -1 (Spalten ohne Pivot-Element müssen gewählt werden). Das Vorgehen im letzten Schritt finde ich allerdings irritierend, da gibt es bessere Merkhilfen. Ich empfehle folgendes Videos ab Minute 15: https://math.ug/videos/la1-ws2021/Wo3-Loesungsmenge-h264.html
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 4.52K

 

Vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr geholfen.
Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 05.08.2021 um 17:21

Hallo Mathejean,

eine Nachfrage hätte ich noch: Warum werden im Videobeispiel die Vektoren mit - versehen? Bei den Lösungen zur Matehklausur war das nicht der Fall.
z.B. Aus 3 und 2 in der Stufennormalform werden in der Lösungsangabe im Vektor dann -3 und -2.


Viele Grüße
Hannah
  ─   user74b5b1 05.08.2021 um 19:12

Das ist im Prinzip derselbe Grund, warum in deiner Musterlösung die -1 hinkommt. Da du eine Lösung des homogenen Systems suchst (das heißt rechts steht =0), bringst du alle anderen Variablen auf die andere Seite. In deinem Beispiel steht: $x+2y=0$, also $x=-2y$. Daher kommt dann das Minus.   ─   cauchy 05.08.2021 um 19:21

Besser hätte ich es nicht erklären können! Wenn dich das ganze aber zu sehr verwirrt kannst du das ganze auch per Hand machen... Ein derartiges systematisches Vorgehen ist leider sehr selten und den Zeitvorteil merkt man auch nur bei größeren Matrizen   ─   mathejean 05.08.2021 um 19:22

Vielen Dank für deine Antwort.
  ─   user74b5b1 09.08.2021 um 09:13

Kommentar schreiben

1
Ich muss gestehen, dass ich es nicht so kenne, wie es da notiert ist. Daher als Alternative: 

Mit dem bereits gefundenen Vektor wurde eine spezielle Lösung für $Ax=b$ gefunden. Aufgrund der Nullzeile kann man zusätzlich eine Lösung für das homogene System $Ax=0$ finden. Dann ist die Summe der Lösungen ebenfalls eine Lösung, denn wenn $x_s$ die Lösung des inhomogenen Systems ist und $x$ die Lösung des homogenen Systems, dann gilt für $v=x+x_s$ gerade $Av=A(x+x_s)=Ax+Ax_s=0+b=b$, also löst $v$ das LGS $Ax=b$. 

Wenn du jetzt die Matrix mit der Nullzeile aus der Lösung betrachtest und damit das homogene System löst, also $b=(0,0,0,0)^T$, dann sieht man erstmal, dass $x_3=0$ und $x_4=0$ gilt. Aus der ersten Zeile folgt $x_1+2x_2=0$. Das heißt, einer dieser beiden Variablen ist frei wählbar. Hier wurde $x_1=2a$ gewählt, was dann zu $x_2=-a$ führt. 

Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 11.22K

 

Hallo Cauchy,
den oberen Teil deiner Antwort kann ich leider nicht nachvollziehen. Wieso Ax=b? Bin mit der Vektorrechnung noch nicht vertraut. Der untere Teil ist einleuchtend, vielen Dank.

Viele Grüße
Hannah
  ─   user74b5b1 03.08.2021 um 23:25

Ich bin jetzt einfach mal von der allgemeinen Notation ausgegangen. Man kann Gleichungssysteme in der Form $Ax=b$ schreiben, wobei $A$ die Matrix ist, wie zu Beginn der Lösung zu sehen und $b$ die rechte Seite, hinter dem Strich. Hattet ihr diese Notation nicht?   ─   cauchy 03.08.2021 um 23:28

Kommentar schreiben