Um nochmal das Vorgehen in der Lösung zu erläutern: Die erweiterte Koeffizientenmatrix wurde im ersten Schritt durch elementare Umformungen  in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, diese wird hier nur Treppennormalform genannt. Im zweiten Schritt wurde die Nullzeile vertauscht,  dies liegt daran, dass die nicht 0 Elemente der rechten Seite mit den Pivot-Elementen/führenden Einsen korrespondieren. Jetzt kann man eine Lösung ablesen. Im letzten Schritt wurde eine Lösung des homogenen LGS gesucht, durch Resubstitution folgt hier die -1 (Spalten ohne Pivot-Element müssen gewählt werden). Das Vorgehen im letzten Schritt finde ich allerdings irritierend, da gibt es bessere Merkhilfen. Ich empfehle folgendes Videos ab Minute 15: https://math.ug/videos/la1-ws2021/Wo3-Loesungsmenge-h264.html

Ich muss gestehen, dass ich es nicht so kenne, wie es da notiert ist. Daher als Alternative: 

Mit dem bereits gefundenen Vektor wurde eine spezielle Lösung für $Ax=b$ gefunden. Aufgrund der Nullzeile kann man zusätzlich eine Lösung für das homogene System $Ax=0$ finden. Dann ist die Summe der Lösungen ebenfalls eine Lösung, denn wenn $x_s$ die Lösung des inhomogenen Systems ist und $x$ die Lösung des homogenen Systems, dann gilt für $v=x+x_s$ gerade $Av=A(x+x_s)=Ax+Ax_s=0+b=b$, also löst $v$ das LGS $Ax=b$. 

Wenn du jetzt die Matrix mit der Nullzeile aus der Lösung betrachtest und damit das homogene System löst, also $b=(0,0,0,0)^T$, dann sieht man erstmal, dass $x_3=0$ und $x_4=0$ gilt. Aus der ersten Zeile folgt $x_1+2x_2=0$. Das heißt, einer dieser beiden Variablen ist frei wählbar. Hier wurde $x_1=2a$ gewählt, was dann zu $x_2=-a$ führt. 

Ich hoffe, das hilft dir weiter.