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Mit Heine Borel hat das nichts zu tun. Der Satz von Heine Borel bringt dir für allg. topologische Räume nichts.
Du schreibst: "Klar ist dass eine Menge kompakt ist wenn es in einer offenen Menge endliche Teilüberdeckungen gibt."
Das ist falsch und ergibt auch keinen Sinn. Der Raum $X$ ist kompakt wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert. Du scheinst dir nur zu versuchen die Wörter zu merken aber dir scheint nicht klar zu sein, was die Definitionen überhaupt bedeuten.
"Ich gehe jetzt davon aus dass diese Teilüberdeckungen abgeschlossen sind."
Warum?
"Ein Hausdorff Raum ist auch klar."
Sicher?
"Ich beschreibe in jetzt so U, V Y x U, y V U V ={}. "
Ich vermute, du willst hier die Trennungseigenschaft von Hausdorff-Räumen beschreiben. Ist dir denn klar, was diese bedeutet? In Worten und anschaulich?
"Ein Homöomorphismus ist bijektiv stetig und umkehrbar."
Das ist falsch. Ein Homöomorphismus ist eine bijektive, stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung. Wenn du willst, kannst du sagen "eine bi-stetige bijektive Abbildung".
"Mit anderen Worten, warum muss X kompakt sein und Y Hausdorff, damit f Homöomorph ist."
Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du folgenden Satz:
Eine abgeschlossene Teilmenge $A$ eines kompakten Raums $X$ ist kompakt.
Warum gilt das? Sei $X$ kompakt und sei $A\subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Da $X$ kompakt ist, findest du zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Sei also $\bigcup_{i\in I} U_i = X$ eine offene Überdeckung (von $X$) für eine beliebige Indexmenge $I$. Es ist klar, dass jede offene Überdeckung von $X$ auch jede Teilmenge von $X$ überdeckt. Somit ist jede offene Überdeckung auch eine offene Überdeckung von $A$. Um zu zeigen dass $A$ kompakt ist, müssen wir zeigen, dass jede offene Überdeckung von $A$ auch eine endliche Teilüberdeckung enthält. Wähle eine endliche Teilüberdeckung $U_{1}\cup ... \cup U_{n}$ von $X$ so dass $\bigcup_{j=1}^n U_{j} = X$. Da $A$ abgeschlossen ist, ist das Komplement $X\setminus A =: O$ offen in $X$. Dann ist $U_{1}\cup ... \cup U_{n} \cup O$ eine endliche Teilüberdeckung von $A$ und da die offene Überdeckung $\bigcup_{i\in I} U_i = X$ beliebig gewählt war, finden wir zu jeder offenen Überdeckung von $X$ (und somit von $A$) eine solche endliche Teilüberdeckung (von $A$) und somit ist $A$ kompakt.
Um deine Aufgabe nun zu lösen, beachte dass die Stetigkeit von $f$ impliziert, dass Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind in $X$ und erinnere dich, dass stetige Bilder kompakter Mengen kompakt sind (aufgrund der Bijektivität ist also $Y$ ebenfalls kompakt). Zusammen mit dem Hilfslemma von oben hast du nun alles was du brauchst, um deine Aussage zu beweisen.
Bevor du diese Aufgabe lösen kannst, ist es aber wichtig, dass du die Begriffe und Definitionen auch wirklich verstehst.
Punkte: 35