Eine Steigung von $f'(x)=2x$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ bedeutet nicht, dass die Funktion $f$ nur jeden zweiten Wert annimmt (ich denke, so interpretierst du das aktuell), sondern, dass sich der Funktionswert ungefähr um das $2x$-fache von $\Delta x$ vergrößert, wenn man $x$ um $\Delta x$ vergrößert.

Es gilt also $f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x) \Delta x$ (multipliziere den Differenzenquotienten mit $\Delta x$) und das bedeutet, dass sich die Veränderung der Funktionswerte an den Stellen $x$ und $x+\Delta x$ um das $f'(x)$-fache von $\Delta x$ verändert. Der Wert ist genauer, je kleiner $\Delta x$ ist. 

Beispiel $x=4$ und $\Delta x=1$: Die Steigung im Punkt $x=4$ ist $f'(4)=8$. Das bedeutet, dass sich der Funktionswert an der Stelle $x+\Delta x=5$ ungefähr um das 8-fache von $\Delta x$ ändert, also um $8\Delta x=8$. Wenn wir nachrechnen gilt $f(4)=16$ und $f(4+1)=25$. Die Veränderung beträgt 9, also etwas mehr als 8 (ziemlich ungenau, weil $\Delta x$ recht groß ist). 

Wenn man $\Delta x$ kleiner macht, fällt diese Abweichung geringer aus. Nimm $x=1$ und $\Delta x=0{,}1$. Dann sollte sich der Funktionswert an der Stelle $x+\Delta x=1{,}1$ um das $f'(1)=2$-fache von $\Delta x$ verändert haben. Es ist $f(1)=1$ und $f(1{,}1)=1{,}21$, das heißt der Funktionswert hat sich um $0{,}21$ verändert, was nur noch ein bisschen mehr als das Doppelte ($f'(1)=2$) von $\Delta x=0{,}1$ ist. 

Du siehst, die Ableitung gibt an, wie stark sich ein Funktionswert an einer Stelle ändert und nicht, welche Funktionswerte angenommen werden. Das regelt ja schon die Funktionsgleichung selbst. Ich hoffe, dir hilft diese Erklärung etwas weiter.