Warum ist die Parabel eine Kurve

Erste Frage Aufrufe: 96     Aktiv: 10.07.2022 um 19:51

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Guten Tag,

Meine Frage bezieht sich auf polynome 2. grades bessergesagt auf f(x) = x² (Normalparabel). Wenn man diese z.b ableitet bekommt man  ja f´(x) = 2x.
Nun wenn man eine lineare funktion in der form  g(x) = x hat, dann heißt das ja, dass was auch immer x ist, ist auch y immer und überall auf der geraden.
Wenn man jetzt noch einen konstanten faktor 2 hinzufügt, sodass g(x) = 2*x ist, heist das ja das was auch immer x ist, dass y das doppelte ist immer und überall auf der geraden.
Wenn man aber jetzt anstatt diese konstante eine variable hinzufügt sodass f(x) = x*x ist, dann heist das ja das die steigung variabel ist, also sich sozusagen immer ändert. die steigung ist immer der x-wert an einem beliebeigen punkt. Und sie ist deshalb eine Kurve, weil die Steigung eine Variable ist. (Denke ich).

===> Die Eigentliche Frage:
Wenn jetzt f´(x) = 2*x (also die steigung einer parabel sich in abhängigkeit zu x verdoppelt), warum nimmt das x dann trotzdem jeden wert an? also immer um dx inkrementieren?
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Eine Steigung von $f'(x)=2x$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ bedeutet nicht, dass die Funktion $f$ nur jeden zweiten Wert annimmt (ich denke, so interpretierst du das aktuell), sondern, dass sich der Funktionswert ungefähr um das $2x$-fache von $\Delta x$ vergrößert, wenn man $x$ um $\Delta x$ vergrößert.

Es gilt also $f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x) \Delta x$ (multipliziere den Differenzenquotienten mit $\Delta x$) und das bedeutet, dass sich die Veränderung der Funktionswerte an den Stellen $x$ und $x+\Delta x$ um das $f'(x)$-fache von $\Delta x$ verändert. Der Wert ist genauer, je kleiner $\Delta x$ ist. 

Beispiel $x=4$ und $\Delta x=1$: Die Steigung im Punkt $x=4$ ist $f'(4)=8$. Das bedeutet, dass sich der Funktionswert an der Stelle $x+\Delta x=5$ ungefähr um das 8-fache von $\Delta x$ ändert, also um $8\Delta x=8$. Wenn wir nachrechnen gilt $f(4)=16$ und $f(4+1)=25$. Die Veränderung beträgt 9, also etwas mehr als 8 (ziemlich ungenau, weil $\Delta x$ recht groß ist). 

Wenn man $\Delta x$ kleiner macht, fällt diese Abweichung geringer aus. Nimm $x=1$ und $\Delta x=0{,}1$. Dann sollte sich der Funktionswert an der Stelle $x+\Delta x=1{,}1$ um das $f'(1)=2$-fache von $\Delta x$ verändert haben. Es ist $f(1)=1$ und $f(1{,}1)=1{,}21$, das heißt der Funktionswert hat sich um $0{,}21$ verändert, was nur noch ein bisschen mehr als das Doppelte ($f'(1)=2$) von $\Delta x=0{,}1$ ist. 

Du siehst, die Ableitung gibt an, wie stark sich ein Funktionswert an einer Stelle ändert und nicht, welche Funktionswerte angenommen werden. Das regelt ja schon die Funktionsgleichung selbst. Ich hoffe, dir hilft diese Erklärung etwas weiter.
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@parabelsinuslp grundlegend ist $x$ dein Funktionsargument. Wenn du eine Variable einführst wähle eine andere Beziechnung für diese als ebenfalls $x$. Also entweder $f(x)=a\cdot x$ bzw. $f(x)=k\cdot x$ oder ähnlich … es ist außerdem $x\cdot x=x^2$, womit du wieder eine quadratische Funktion erhalten würdest..   ─   maqu 10.07.2022 um 19:29

@cauchy sry es wurden mal wieder Kommentare gelöscht … nicht das man denkt ich führe Selbstgespräche   ─   maqu 10.07.2022 um 19:30

Das habe ich schon gemerkt... Konnte sie jedoch nicht mehr lesen. :D   ─   cauchy 10.07.2022 um 19:51

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