Vorzeichen Rechenzeichen

Erste Frage Aufrufe: 68     Aktiv: 25.09.2021 um 17:27

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Hi, bei meiner Frage geht es wie im Titel beschrieben um Vorzeichen und Rechenzeichen

x-y= x + (-y) , d.h. dass das Minus das Vorzeichen des y ist.
Bei Termen wie:
x+(x-y) kann man ja die Klammer weglassen. Das ist meine Frage:
Bei einem + heißt das dann:
x+y = x+(+y) ja oder , weil dann:
x+(x-y) = x + (+(x-y), dass würde erklären warum man es mit + 1 multipliziert.
VG
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Hallo,

dein Gedanke ist an sich nicht falsch. Man schreibt es aber so nicht. Man kann sagen es wurde sich drauf geeinigt, dass ein positives Vorzeichen weggelassen wird. 
Das wir aus $x-y$ auch $x+(-y)$ machen können hängt auch mehr mit der Definition der Subtraktion zusammen. In der Mathematik wird zuerst die Addition (Plusrechnung) definiert. darauf aufbauend werden dann weitere Grundrechenarten definiert. 
Die Subtraktion ist die Addition einer Zahl mit dem negativen einer anderen (positiven) Zahl (bzw. mit dem positven einer negativen Zahl). 
$$ x-y = x + (-y) $$
Die Multiplikation ist das mehrfache addieren von einer Zahl mit sich selbst.  
$$ x \cdot y = \underset{x-mal}{\underbrace{y + y + \ldots + y}} $$
usw. 

Zusammengefasst: wir schreiben für $x-y$ auch $x+(-y)$ aber für $ x+y$ schreiben wir eher $x+(y)$ anstatt $x+(+y)$. Also hier wird dann kein Vorzeichen mit dazugepackt. 

Grüße Christian

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Hi Christian, vielen Dank für deine Antwort. Mir geht es aber beim z.B ausmultiplizieren einer Klammer :
x+(x-y)
Ist es ja genau genommen:
x+ (+1 mal (x-y))
oder?
VG
  ─   user9f0fa0 23.09.2021 um 21:21

Etwas mit +1 multipliziert ergibt genau das, was da steht. Das kann man sich also sparen. Lass die Klammer einfach weg, wie du es oben schon erläutert hast.

Warum so ein komplizierter Gedankengang?
  ─   cauchy 23.09.2021 um 21:45

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Ich versuche mal einen anderen Erklärungsversuch.
Vermutlich wurde Dir erklärt, dass $a-(b+c) = a-b-c$ ergibt, weil man es ausführlich so schreiben kann:
$$a-(b+c) = a- 1\cdot (b+c) = a- 1\cdot b - 1\cdot c = a - b - c$$

Analog müsste dann bei der Aufgabe $a+(b+c) = a+b+c$ auch das hier geschrieben werden:
$$a+(b+c) = a+ 1\cdot (b+c) = a+ 1\cdot b + 1\cdot c = a + b + c$$

An dieser Stelle ist aber gar nichts über Vorzeichen und Rechenzeichen gesagt. Das ist dabei aber meiner Meinung nach gar nicht die Intention dabei. Es wird letztendlich das Distributivgesetz bemüht.


Jetzt kommt eine andere Erklärungsidee.
Stell Dir eine Zahlengerade vor.
Dann kann man eine positive Zahl deuten als einen Pfeil nach rechts, der bei 0 anfängt und bis zu der entsprechenden Zahl zeigt. Also ist (+2) ein Pfeil von 0 bis 2.
Eine negative Zahl ist dann ein Pfeil nach links, der bei 0 anfängt und bis zur entsprechenden Zahl zeigt. Also wäre (-3) ein Pfeil von 0 zur -3.

Wenn Zahlen addiert werden, werden einfach die Pfeile aneinandergehängt. Also bei $(+2)+(-3)$ gibt es einen Pfeil von 0 zur +2 und der Minus-3-Pfeil wird an dessen Ende gehängt, reicht also von der +2 genau drei nach links bis zur -1. Das Ergebnis ist also genau der Weg von 0 zur -1, weshalb man dafür auch die Zahl (-1) aufschreiben kann. Das Ergebnis ist also ein Pfeil von 0 zur -1.

Gleichzeitig kannst Du Dir so klarmachen, dass zum Beispiel (+5) und (-5) zwei Pfeile sind, die gleich lang sind, aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Wenn subtrahiert wird, dann wird ein Pfeil rückwärts durchlaufen.
Bei $(+2)-(+3)$ bedeutet das: Erst geht es von 0 zur +2. Danach wird der Pfeil der (+3) so verschoben (und NICHT gedreht), dass die Spitze der (+3) an der Spitze von (+2) hängt. Dann wird dieser Pfeil rückwärts durchlaufen. Dann landet man ebenfalls bei der -1.

Der Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen ist hierbei: Vorzeichen dreht den Pfeil um, Rechenzeichen durchläuft den Pfeil rückwärts.

Mit diesem Modell lassen sich eigentlich alle Regeln zum Addieren und Subtrahieren mit negativen und positiven Zahlen erklären.

Kommen wir also zu den Klammer-Beispielen. Nehmen wir erstmal an, dass $a$, $b$ und $c$ alles positive Zahlen sind, also alles Pfeile nach rechts.

Addition vor der Klammer:
$a+(b+c)$ -- alle drei Pfeile werden aneinander gehängt. Die Klammern können weggelassen werden.

Subtraktion vor der Klammer:
$a-(b+c)$ -- erst werden die Pfeile b und c aneinandergehängt. Die Spitze vom Gesamtpfeil $(b+c)$wird an die Spitze von a gehängt und rückwärts durchlaufen, weil das - vor der Klammer jetzt ein Rechenzeichen ist.

Das Ergebnis ist das gleiche wie diese Möglichkeit 1:

$a-(+b)-(+c)$ das entspricht von links nach rechts gelesen $(a-(+b))-(+c)$ -- die Spitze von Pfeil von b wird an die Spitze von a gehängt und rückwärts durchlaufen. Das ergibt einen Gesamtpfeil von 0 zur Spitze bei $a-b$. An dessen Spitze wird der Pfeil c gesetzt und rückwärts durchlaufen.


Dieses Ergebnis ist ebenfalls gleich dieser Möglichkeit 2:

$a+(-b)+(-c)$ -- erst werden die Pfeile b und c jeweils umgedreht und dann werden die drei Pfeile aneinandergehängt.


Bei der Klammer, bei Möglichkeit 1 und bei Möglichkeit 2 landet man immer bei der gleichen Zahl auf der Zahlengeraden.

Das ganze funktioniert auch mit beliebigen Richtungen der Pfeile. Da muss man aber ein bisschen aufpassen, dass man nichts durcheinanderwirft... also: dass man nicht die Orientierung verliert.

Diese Erklärung ist bestimmt nicht perfekt, soll aber die Idee verkörpern. Verbesserungsvorschläge sind daher gerne willkommen.
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Hallo, vielen Dank für Ihre Antwort.
Mir ist bewusst, dass das Klammer auflösen mit dem Distributivgesetz geregelt ist. Allerdings haben Sie meine Frage mit den Vorzeichen bzw. Rechenzeichen beantwortet oder, denn ich meinte:
(Das ist sehr ausführlich und unnötig geschrieben, allerdings will ich es genau wissen.
x steht in diesem Beispiel für ein mal Punkt.

a+(y-z)
Plus in diesem Fall Rechenzeichen. Benutzt man beim Distributivgesetz das Rechenzeichen zum Ausmultiplizieren?

Laut Ihrer obigen Schreibweise:
a+ (+1) x (y-z) = a+ (+1) x (+y) + (+1) x (-z) = a+ (+y) + (-z) = a+y-z

das würde für mich Sinn ergeben. Stimmt das? Wenn ja heißt es dann ja
x+y = x + (+1) x y

Ich weiß, dass ist sehr umständlich, allerdings möchte ich den genauen Ablauf verstehen.

Viele Grüße
  ─   user9f0fa0 24.09.2021 um 18:36

Erstmal muss ich sagen, dass es anstrengend zu lesen ist, wenn in den Beispielen das gleiche x mal für eine Variable und mal für ein Rechenzeichen stehen soll. Dann müssen wir nämlich plötzlich drei Dinge auseinanderhalten: Rechenzeichen, Vorzeichen UND Variablen...

Ich habe eigentlich versucht deutlich zu machen, dass die Interpretation mit dem Distributivgesetz nicht unbedingt das beste Verständnis ist.

Also: a+(b-c) -- hier ist das + ein Rechenzeichen, das den Term, der durch die Klammern begrenzt wird, addiert.

Mit meiner Schreibweise gilt eigentlich (die Pfeile markieren Rechenzeichen)
$$
a+ (+1)\cdot (y\underset{\uparrow}{-}z)= a+ (+1)\cdot y \underset{\uparrow}{-} (+1)\cdot z.
$$

Oder mit markierten Vorzeichen so:
$$
a+ (+1)\cdot (y+(\underset{\uparrow}{-}z))= a+ (+1)\cdot y +(+1)\cdot (\underset{\uparrow}{-} z).
$$

Die letzte Version
$$
x+y = x+(+1)\cdot y
$$
ist mathematisch zwar richtig, für mich aber kein Beispiel, das ein Verständnis von Vorzeichen oder Rechenzeichen fördert, sondern lediglich ein erzwungenes, erstmal unnötiges Produkt (analog zum erzwungenen und unnötigen Distributivgesetz)...
  ─   joergwausw 24.09.2021 um 20:38

Alles klar, danke.   ─   user9f0fa0 25.09.2021 um 09:54

Dann verwandle den Dank doch auch in Akzeptieren der Antwort, ein Upvote oder eine Bewertung...   ─   joergwausw 25.09.2021 um 17:27

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