Ober- & Untersumme

Erste Frage Aufrufe: 124     Aktiv: 18.08.2021 um 11:20

0
Hallo, ich habe folgendes Problem: Wenn man den Flächeninhalt eines Integrals berechnet, indem man die Ober- bzw. Untersumme auf einen Grenzwert gegen unendlich untersucht, muss ja das Ergebnis von beiden bei der selben Funktion identisch sein. Allerdings komme ich bei der Untersumme meistens auf ein ganz anderes Ergebnis. Ist die Funktion z.B. f(x)=x^2 und es gilt a=0 & b=2 bekomme ich bei der Obersumme (2/n)^3*1/6n*(n+1)(2n+1) =4/3*1/2*(2+1/n)= 8/3 heraus. Das ist laut meinem Schulbuch auch korrekt. Rechne ich nun die Untersumme aus, ist 8/(n^3) *1/2n(n-1) =4*(n-1)/n^2 Oder =8/2n*(n-1)/n =4/n*(1-1/n) mein Ergebnis… Ich weiß gar nicht, was ich falsch mache :(
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 

Lade am besten deinen Rechenweg hoch (Bild), dann kann man Fehler besser finden.   ─   cauchy 18.08.2021 um 10:28
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Hallo,

es sieht für mich so aus, als hättest du die falsche Summenformel genutzt

$$ \frac {2^3} {n^3} \cdot \frac {(n-1)n} 2 = \frac {2^3} {n^3} \sum\limits_{i=0}^{n-1} i = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac 2 n \cdot \left( \frac 2 n \right)^2 i \neq \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac 2 n f\left( \frac 2 n i \right)  $$

denn $f\left(\frac 2 n i\right) = \left( \frac  2n i \right)^2 $, mit $f(x) = x^2$.

Also in beiden Fällen hast du den Laufindex der Summe im Quadrat. Bei der Untersumme geht nur die Summe von $i=0$ bis $n-1$ und bei der Obersumme von $i=1$ bis $n$. Das ist der einzige Unterschied. Wenn du das beachtest, dann solltest du auch das richtige Ergebnis erhalten.

Grüße Christian
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 28.54K

 

Kommentar schreiben