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Dass \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \ln(2n+1) = 0 \) gilt, ist nicht trivial, denn \( \frac{1}{n} \) geht zwar gegen \( 0 \), aber \( \ln(2n+1) \) geht gegen \( \infty \). Da solltest du schon eine ausführlichere Begründung liefern.
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Dachte ich mir auch, aber egal, was man mit 0 multipliziert, es ergibt sich doch wieder 0.
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akimboslice
25.01.2021 um 21:12
Nicht im Limes. Obwohl \( \frac{1}{n} \) gegen \( 0 \) geht, ist beispielsweise \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = 1 \). Und es gibt noch weitere solcher Beispiele.
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42
25.01.2021 um 21:16
Man kann hier mehrere Dinge machen: Beispielsweise kann man mit der Reihen- oder Taylor-Entwicklung des Logarithmus arbeiten. Oder man kann die Regel von L´Hospital verwenden. Wenn man das alles aber nicht zur Verfügung hat, dann wird dein Weg sehr schwierig.
Weißt du, dass \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) ist? ─ 42 25.01.2021 um 21:24
Weißt du, dass \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) ist? ─ 42 25.01.2021 um 21:24
Okay, habe mir Gedanken gemacht und ich würde es so machen, dass ich, um meine Aussage zu zeigen, dass das "0 gewinnt" beweise, dass die Wurzel "stärker" ist.
Ich könnte eine Gleichung hernehmen: ln (x) im Zähler und n-te Wurzel aus x im Nenner. Dann substituiere ich x = e^y und erhalte am Ende n-te Wurzel aus (y^42/e^y). Und dass die Exponentialfunktion stets gewinnt, sollte klar sein.
Wäre das eine Möglichkeit, das zu zeigen? ─ akimboslice 26.01.2021 um 08:27
Ich könnte eine Gleichung hernehmen: ln (x) im Zähler und n-te Wurzel aus x im Nenner. Dann substituiere ich x = e^y und erhalte am Ende n-te Wurzel aus (y^42/e^y). Und dass die Exponentialfunktion stets gewinnt, sollte klar sein.
Wäre das eine Möglichkeit, das zu zeigen? ─ akimboslice 26.01.2021 um 08:27
Dass "die Exponentialfunktion stets gewinnt" ist so nicht richtig. Beispielsweise wächst die Gamma-Funktion wesentlich schneller als die Exponentialfunktion. Man braucht also auch bei dieser Variante eine weitere Begründung.
Eigentlich ist die Aufgabe total einfach. Wenn du weißt, dass \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) ist, dann kannst du aus der Abschätzung \( \sqrt[n]{n} \le \sqrt[n]{2n+1} \le (\sqrt[n]{n})^2 \) (für \(n \ge 3\)) sofort \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2n+1} = 1 \) folgern.
Wenn du eine Folge hast, die so ähnlich aussieht wie eine Folge, die du schon kennst, hilft eine Abschätzung sehr oft weiter. ─ 42 26.01.2021 um 10:24
Eigentlich ist die Aufgabe total einfach. Wenn du weißt, dass \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) ist, dann kannst du aus der Abschätzung \( \sqrt[n]{n} \le \sqrt[n]{2n+1} \le (\sqrt[n]{n})^2 \) (für \(n \ge 3\)) sofort \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2n+1} = 1 \) folgern.
Wenn du eine Folge hast, die so ähnlich aussieht wie eine Folge, die du schon kennst, hilft eine Abschätzung sehr oft weiter. ─ 42 26.01.2021 um 10:24