warum? weil Mathematiker oft etwas ausrechnen möchten, was sie eigentlich nicht können oder dürfen. Z.B. durch Null teilen oder was passiert, wenn einen Zahl unendlich groß wird. Um einen solchen "Rechenausdruck"- obwohl es den formal gar nicht geben kann- aufzuschreiben, wird der limes verwendet, und damit schiebt man das Problem auf später, wenn man im Umformen oder Berechnen weiter ist.

wie? man da rangeht hängt von der Fragestellung und dem Ausdruck ab. Bei der Herleitung des Differentialquotienten von Polynomen z.B. formt man lange genug um, bis der Ausdruck 0:0 entschärft ist. Man kann für unendlich hohe Zahlenwerte auch mal mit dem TR probeweise 100000000 einsetzen und sehen was am Ende herauskommt (und ob überhaupt etwas herauskommt), das geht auch eleganter (und aufwändiger schrittweise). Oder man denkt (Kopfkino) darüber nach, was mit einzelnen Komponenten passiert, wenn man "oo" hohe Zahlen einsetzen würde.

was? man jeweils anwendet ist meist gelernt/Erfahrung/ vll. auch Probieren/Intuition und hängt tatsächlich konkret von der Aufgabe ab. Am besten du versuchst zunächst zu verstehen, warum bei deiner Fragestellung überhaupt die Limesschreibweise nötig ist (also welche Regeln du sonst verletzen würdest) und dann gehst du nach geeigneten Musterlösungen vor