Zu (a): Schau dir den Beweis an. Wo wird die Ableitung verwendet? Kannst du die Schlussfolgerungen, die damit gemacht werden, auch mit der Lipschitz-stetigkeit folgern?
(b): Du brauchst also eine Funktion, die nicht Lipschitz-stetig ist. Mir fällt \(f:[0,1]\to[0,1],\ 0\mapsto\frac12,\ x\mapsto x^2\) für \(x\neq0\) ein. Es gibt sicher auch ein schöneres Beispiel. Überleg dir entweder selbst eins oder rechne nach, dass meine Funktion tatsächlich alle geforderten Eigenschaften hat.