Gleichung mit zwei Unbekannten

Aufrufe: 92     Aktiv: 20.06.2021 um 00:04

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Hallo!

ich weiß nicht genau was ich hier falsch mache, aber jedes mal erhalte ich für x und y NULL und ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich so sein soll.

Kann mir hier jemand kurz weiterhelfen? 

 

Damit ihr versteht wie ich die Gleichung löse am Beispiel von b.):

 

70x + 33y = 1

x ==> 1/70 - 33/70y

y ==> 1/33 - 70/33x

 

70x + 33y = 1

70*(1/70 - 33/70y) + 33y = 1

1 - 33y + 33y = 1

0 = 0 ? 

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Ich glaube du (und auch alle bisherigen Helfer) hast die Aufgabe falsch verstanden. So wie ich es sehe, sind die beiden Aufgaben getrennt zu betrachten (Aufgabenteil a) und b)) und somit hat das ganze absolut garnichts mit einem LGS zu tuhen. Es handelt sich hierbei um diophantische Gleichungen. Dadurch, dass diese linear ist, erhält du durch ggT Bestimming alle Lösungspaare. Ich hoffe ich habe jetzt keinen Mist erzählt
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Bisher hat niemand von einem LGS gesprochen...   ─   lunendlich 19.06.2021 um 21:45

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Stimmt, es sind ja eigentlich diophantische Gleichungen, daran habe ich gar nicht erst gedacht. Viiiieeeeelllen Dank, das verschafft mir jetzt wieder eine ganz andere Sichtweise und um Dir zu zeigen, dass Du da auch keinen Mist erzählst ;-)

Hier meine Lösung:

Bei b.):

Es ist nicht lösbar, denn ggT(3,9) = 3 ---> 2 ist nicht teilbar durch 3.
Das heißt diese Gleichung können wir uns mal ersparen.


Bei c.) :

ggT(70, 33) = 1

Mithilfe von "Euklidischer Algorithmus" erhalten wir dann die Paare: (-8, 17).

(i)
70 = 2·33 + 4
33 = 8·4 + 1 ( ggT=1)
4 = 4·1

(ii)
1 = 33 - 8·4
1 = 33 - 8·(70 - 2·33) = -8·70 + 17·33

==> -8·70 + 17·33 = 1

Allgemeine Lösungsmenge: L = {(-8 + 33z, 17 - 70z) | z ∈ Z }
  ─   user7dde99 19.06.2021 um 22:11

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Du erhältst nicht \(0\) als Lösung sondern die Aussage \(0=0\). Und das ist ja richtig. Das liegt daran, dass du versuchst eine Gleichung in sich selbst einzusetzen.

Also falsch ist es nicht, bringt dich nur nicht zur Lösung der Aufgabe.

Welche Lösungsverfahren für ganze Zahlen kennst du denn? Hast du mal versucht Werte einzusetzen?
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Hab' mit einsetzen schon herumprobiert, aber ich komme nie wirklich auf die Lösung....

Ich kenne eigentlich nur dieses Verfahren, aber ich bin offen für ein neues Verfahren.. Je mehr ich weiß, desto besser. ;-)

  ─   user7dde99 19.06.2021 um 21:06

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Hallo!
Dein Ansatz ist richtig, jedoch macht es keinen Sinn, wenn du diee Gleichung umsstellst und dann in sich  selbst einsetzt.
Dein Ziel ist ja, ein Tupel mit nur noch einer Variablen zu haben (denn die Variablen stehen ja in einem bestimmten Verhältnis zueinander.
Das lösen wir jetzt wie folgt:
Als erstes Element des Tupels haben wir schon \( x \), das können wir unverändert lassen. Dafür müssen wir jetzt \( y\) durch \( x \) darstellen, eben durch Umstellen. Das hast du ja schon gemacht: \( y=\frac{1}{33}(1-70x) \)
Und so erhältst du dann das Tupel \( (x;\frac{1}{33}(1-70x)) \). Jetzt musst du nur noch auf die Bedingung, dass das Tupel aus \( \mathbb{Z} \) sein soll, achten.
Hoffentlich konnte ich dir erstmal weiterhelfen.
LG Lunendlich :)
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Schüler, Punkte: 480

 

Ja, deine Antwort konnte mir etwas Licht ins Dunkel bringen. Danke! :-)

Das heißt also, dass dann das zweite Tupel dann so lautet (1/70 * ( 1 - 33y) ; y).
Jedoch haben wir ja Brüche in unseren Tupeln, was ja eigentlich für ganze Zahlen nicht zulässig ist.

Aber ich wüsste nicht wie ich das ganze hier so umstellen kann, dass wir schlussendlich keinen Bruch mehr haben?
  ─   user7dde99 19.06.2021 um 21:20

Durch Ausprobieren habe ich jetzt das Tupel \( (-8;17) \) und das Tupel \( (-41;87) \) gefunden.
Und ich habe ein Muster gefunden: Für alle \(y= 3+c \cdot7 \) mit \( c\in\mathbb{Z} \) ergibt sich für \(x \) maximal eine Nachkommastelle. Und für \( c=k\cdot 10 + 2 \) mit \( k\in \mathbb{Z} \) ist dann \( x\in\mathbb{Z} \).
Das sind jedoch nur Beobachtungen/Vermutungen.
ich werde mal weiter probieren und umrechnen und so und sage dann Besscheid, wenn ich ein Ergebnis habe.
  ─   lunendlich 19.06.2021 um 21:42

Sehr interessante Beobachtung, wie man auf sowas immer draufkommt bleibt für mich wohl ein Rätsel... Vielen Dank! :D

Ich habe mal mit dem "Euklidscher Algorithmus" herumprobiert....
Ich habe glaube ich habe die allgemeine Lösungsmenge für ALLE Paare:

Allgemeine Lösungsmenge: L = {(-8 + 33z, 17 - 70z) | z ∈ Z }
  ─   user7dde99 19.06.2021 um 22:16

Cool! Den Euklidischen Algorithmus (und diophantische Gleichhungen) kenne ich noch nicht, damit muss ich mich unbedingt mal auseinandersetzen. Freut mich jedenfalls, dass du jetzt eine Lösung hast und ich habe jetzt eine neue Beschäftigung *grins*   ─   lunendlich 19.06.2021 um 22:47

Kann ich Dir nur empfehlen, falls Du schon Student bist oder studieren gehen möchtest , dann wirst Du es ganz sicherlich brauchen. Good Luck, Du kleines Mathegenie! :D   ─   user7dde99 20.06.2021 um 00:04

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