Ich glaube, da geht mit den Bezeichnungen was durcheinander.. Wahrscheinlich willst du die 3. binomische Formel anwenden \(a^2 -b^2= (a-b)(a+b)\).

Dazu nimmst du die Ausgangsgleichung \(2n^2 +5n +3 \text { in Normalform } = 2(n^2+{5 \over 2}n+{3 \over2}) \text { und machst die quadratische Ergänzung } \Rightarrow 2((n+{5 \over 4})^2 - ({5 \over 4})^2 +{3 \over2}) = 2((n + {5 \over 4})^2 - ({25 \over 16} - {24 \over 16})=2((n+{5 \over 4})^2 -({1 \over 4})^2)\) .

Jetzt Binomi 3 : \(a^2-b^2 =(a+b)(a-b) \text { mit } a=(n+{5 \over 4}) \text { und } b={1 \over 4}. \)

  \( 2((n+{5 \over4})^2 - ({1 \over 4})^2)= 2((n+{5 \over4})+{1 \over4})((n+{5 \over 4})-{1 \over4}))= 2(n+{6 \over4})(n+{4 \over4})= (2n+3)(n+1)\).

Einfacher geht die Faktorzerlegung aber mit Berechnung der Nullstellen: \(2(n^2 +{5 \over 2}n +{3 \over2})= 2(n-n_1)(n-n_2) \text { mit den Nullstellen (mit  p-q-Formel) } n_1 = - {3 \over 2} ; n_2=-1\)