Bestimmung des Wertebereichs eine Signumfunktion

Erste Frage Aufrufe: 380     Aktiv: 09.12.2025 um 01:11
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Hallo, ich hätte eine Frage, wie man am besten den Wertebereich rechnerisch bestimmt. Gibt es dort ein bestimtest vorgehen? 
Bisher habe ich immer die Funktionen gezeichnet und dann den Wertebereich abgelesen, was jedoch sehr zeitintensiv ist, deshalb meine Frage für einen alternativen Weg.

Beispielaufgabe: f(x)=ln(x)sgn(x-3)

Hinweis: sgn(0) ist bei uns nicht definiert!


Viele Grüße
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eine grundsätzliche Vorgehensweise zur rechnerischen Bestimmung kenne ich nicht. Mit heutigen Möglichkeiten ist die grafische Darstellung doch recht einfach. Hilft dir die Grafik? Zeig bitte dein Ergebnis.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 230

 
Ja, genau. Mit GeoGebra habe ich schon viel gearbeitet, und die grafische Bestimmung des Wertebereichs bereitet mir mittlerweile keine Schwierigkeiten mehr. Meine Sorge betrifft eher die Klausur: Falls dort explizit nach dem Wertebereich gefragt wird, möchte ich wissen, wie man so eine Aufgabe ohne Zeichnung möglichst effektiv und systematisch lösen kann.
   ─   mathe1205 06.12.2025 um 10:43
ohne Zeichnung kommst du nur mit Analyse der Funktionsgleichung weiter. In diesem Fall ist \(ln(x)\text{ für } x\le0\) und \(sgn(x-3)\text{ für } x=3\) nicht definiert. Ebenso darf ein Nenner nicht Null sein oder der Wert unter dem Wurzelzeichen negativ. Im Netz gibt es dazu Beispiele und Übungen.   ─   mpstan 06.12.2025 um 11:24
\(\mbox{sgn}(0)\) ist normalerweise 0, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion .
Damit wäre f(3)=0, und -ln(3) würde nicht mehr zum Wertebereich dazugehören.

Ein allgemeines Rezept zur Berechnung des Wertebereichs gibt es leider nicht. Es gibt hier verschiedene Tricks, die man anwenden und kombinieren kann, die mal zum Erfolg führen, mal nicht.

Widerliches Beispiel: \(\displaystyle g(x) = \frac{\sin(x)}{x^2+1}\) .



   ─   m.simon.539 06.12.2025 um 19:39
@m.simon FS hat aus gutem Grund darauf hingewiesen, dass bei ihm sgn(0) nicht definiert ist. Es gibt auch keine einheitliche Def. von sgn, und insb. ist die Nicht-Def. von sgn(0) alles andere als eine Seltenheit. Zur allgemeinen Berechnung hatte mpstan ja schon alles gesagt. - Kurz: Der Sinn des Kommentars erschließt sich mir nicht.   ─   mikn 06.12.2025 um 22:19
@mikn Tja, nun weiß ich nicht, ob zu sgn(0) einfach nichts gesagt wurde, was es sein soll, oder ob es definitiv undefiniert ist.

Überhaupt scheint es ja - insbesondere in der Schulmathematik - Mode geworden zu sein, den Definitionsbereich nicht mehr anzugeben, sondern immer von den maximal möglichen Definitionsbereich auszugehen - was ich nicht gutheiße.

Mein Beispiel soll demonstrieren, dass es eben Beispiele gibt, bei denen die Berechnung des Wertebereichs schwierig ist, und es somit kein allgemeines Rezept geben kann. Man muss und kann also hoffen, dass die Aufgaben zur Berechnung des Wertebereichs einigermaßen gutartig sind.
   ─   m.simon.539 07.12.2025 um 00:26

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Wertebereich von (stückweise) stetigen Funktionen bestimmt man eigentlich ganz gut mit dem Zwischenwertsatz. Wir haben 

$$\lim_{x \to} f(x)=\infty$$

und 
$$\lim_{x \to 3^+}f(x)=-\ln3$$

Somit ist der Wertebereich von $f|_{(0,3)}$ dank dem Monotonie und Zwischenwertsatz $(-\ln3,\infty)$.Wiederhole dasselbe Argument für das zweite Teilintervall $(3,\infty)$, Der Wertevereich davon ist $(\ln 3,\infty)$, was eine Teilmenge der oberen Menge ist. 

Also ingesamt ist der Wertebereich $(-\ln 3,\infty) \cup \{f(3) \}$, je nachdem, wie signum defininiert ist. 

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Bei manchen Beispielen von stückweise stetigen Funktionen kann es zusätzlich erforderlich sein, Minimum und/oder Maximum manchen der Intervalle zu berechnen, in denen die Funktion stetig ist.

Z.B. \(f(x) = \sqrt{1-x^2} \) für \(-1\le x \le 1, \; f(x)=-1\) für \(x<-1, \;f(x)=-1\) für \(x>1\),

Im Intervall I=[-1,1] hat es ein lokales Maximum bei x=0: f(x)=1.
In I gibt es kein lokales Minimum. Randwertbetrachtung liefert Minima bei \(x=\pm 1\): \(f(\pm 1)=0\).
Mithin ist 0 minimaler und 1 maximaler Wert in \(I\).
Zwischenwertsatz liefert, dass f in \(I\) alle Werte zwischen 0 und 1 (einschl.) annimmt.
Also ist Wertebereich insgesamt gleich \([0,1] \cup \{ -1\}\).

   ─   m.simon.539 07.12.2025 um 01:08
Deshalb habe ich ja "Monotonie" in meiner Antwort stehen ;-)

   ─   crystalmath 08.12.2025 um 18:50

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