Partialbruchzerlegung (x+1) / (x^2 + 2x + 1) * (x^2 + 1)

Aufrufe: 932     Aktiv: 05.03.2021 um 12:21
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Hallo zusammen :)

Ich habe Schwierigkeiten folgende Gleichung zu integrieren:



Kann ich bei dieser Funktion zwein separate Integrationen durchführen und diese dann später zusammen setzen?

1.) (x+1)/(x^2+2x+1) = (x+1)/(x+1)^2

2.) (x+1)/(x^2+1)

Viele Grüße

Leo
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Moin leoow96.
Nein das kannst du nicht, das würde ja bedeuten, dass \(\dfrac{x+1}{x^2+2x+1}+\dfrac{x+1}{x^2+1}=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+1)\cdot (x^2+1)}\) ist. Das ist offenbar aber nicht der Fall.

Grüße
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danke schonmnal :) Wie würdest du die Integration lösen? :)   ─   leoow96 04.03.2021 um 17:09
Da hast du mehrere Möglichkeiten. Die Idee, \(x^2+2x+1\) als binomische Formel zu schreiben ist schonmal super! Das kannst du einsetzen und dann kürzen. Dann kannst du eigentlich problemlos Partialbruchzerlegung drauf anwenden.
   ─   1+2=3 04.03.2021 um 17:13
Habe ich versucht. Für einen meiner Koeffizienten kommt dann aber 0 raus komischerweise.

x+1 = A(x^2+1) + B*(x+1)^2

wenn ich jetzt x=-1 und x=0 einsetze....

Bekomme ich bei x=-1 --> A=0 raus   ─   leoow96 04.03.2021 um 17:20
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung muss \(\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}\) lauten, da \(x^2+1\) zwei nicht reelle Nullstellen hat.   ─   1+2=3 04.03.2021 um 17:24
okey danke :)

Habe ich jetzt mal als Ansatz angenommen:

dann erhalte ich x+1 = A*(x^2+1)+Bx+c*(x+1)

wenn ich jetzt x=-1 , x=1, x=0 einsetze... bekomme ich kein Ergebnis   ─   leoow96 04.03.2021 um 17:39
Wie kommst du denn auf die Gleichung \(x+1=A\cdot (x^2+1)+Bx+C\cdot (x+1)\)? Ich komme da auf sowas wie \(1=A\dot (x^2+1)+(Bx+C)\cdot (x+1)\). Du kannst die \(x+1\) auf der linken Seite wieder rauskürzen.   ─   1+2=3 04.03.2021 um 17:44
wir haben ja x+1 / (x+1)^2 * (x^2+1) = A/x+1 + Bx+C/(x^2+1)

Bringe jetzt praktisch den Nenner (x+1)^2 und (x^2+1) auf die andere Seite.

dann komme ich auf x+1 = A*(x^2+1)+Bx+c*(x+1)   ─   leoow96 04.03.2021 um 17:54
Wieso kann ich die x+1 raus kürzen?   ─   leoow96 04.03.2021 um 17:55
Weil im Zähler und Nenner der selbe Faktor vorkommt. Das hast du beim Ansatz ja ursprünglich auch gemacht.
Außerdem musst du beim multiplizieren aufpassen, dass du die gesamte Summe, also \((Bx+C)\) und nicht nur \(C\) mit \((x+1)\) multiplizierst.   ─   1+2=3 04.03.2021 um 18:05
tipps haben mir schonmal weiter geholfen :)

habe jetzt für A=1/2 ; B=-1/4 und C=1/4 raus   ─   leoow96 04.03.2021 um 18:26
bei der Aufleitung im ersten Teil habe ich jetzt 1/2 ln |x+1| raus, wie löse ich den 2. Teil mit Bx + C auf?   ─   leoow96 04.03.2021 um 18:28
Im zweiten Summanden kannst du das Integral aufteilen: \(\dfrac{Bx+C}{x^2+1}=\dfrac{Bx}{x^2+1}+\dfrac{C}{x^2+1}\).
Laut Computer sollten für die Koeffizienten \(A=0.5,\ B=-0.5, \ C=0.5\) heraus kommen. Hast du dich da vielleicht irgendwo vertan?   ─   1+2=3 04.03.2021 um 18:47
Ja, hatte mich verrechnet auf die schnelle. Danke dir :)

Habe jetzt folgendes raus:

1/2 arctan(x) - 1/4 ln (x^2+1) + 1/2 ln | x+1 | + C   ─   leoow96 05.03.2021 um 10:13
Das schaut gut aus, super! :)   ─   1+2=3 05.03.2021 um 12:21

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