Erstmal ist eine Hyperbel keine Funktion, sondern eine Punktmenge.
Und dann: "stetig" gibt es gar nicht. Es gibt nur "stetig auf [Menge einsetzen]" und "stetig in [Stelle einsetzen]".
Deine Frage ist eine typische Verwirrung, die durch unzulässige Verkürzung von Formulierungen entsteht.

Eine Definitionslücke ist einfach nur ein x-Wert, der nicht zum Definitionsbereich einer Funktion dazugehört. Kann man in der Wikipedia nachlesen.

Wenn nun x=0 eine Definitionslücke von f ist, dann lautet der Definitionsbereich von f: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

"Stetig" muss man wohl übersetzen mit "stetig auf dem ganzen Definitionsbereich" oder "stetig in allen $x\in D$".

Und in der Tat, f ist in allen $x\in D$ stetig. Das mittels der Definition nachzurechnen ist allerdings Arbeit.

Schneller geht's mit folgenden Satz, den ihr bestimmt so oder so ähnlich gehabt habt:

Wenn g, h in einer Umgebung U von x definiert sind, und dort stetig sind, und wenn h überall in U ungleich 0 ist, dann ist g/h in x stetig.

Wenn Du dazu Hilfe brauchst, bitte nochmal melden.