Lineare Unabhängigkeit Überprüfen

Erste Frage Aufrufe: 126     Aktiv: 27.01.2024 um 17:16
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gegeben sind 3 Funktionen.
Lineare Unabhängigkeit setzt doch Voraus, dass die Gleichung  λ1 f1 + λ2 f2 + λ3 f3 = 0 NUR dann 0 ist, wenn alle Lamda 0 sind (als Einzige Lösung) 

Ich stehe vor folgender Aufgabe: 

Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums
⟨f :x7→sin(x),f :x7→sin(2x),f :x7→sin(3x)⟩⊆RR.

In unseren Musterlösungen wird zunächst die lineare Unabhängigkeit geprüft. Als Lösungsweg ist angegeben: 
Lösung Z5.5:

Fu ̈r λ1, λ2, λ3 ∈ R gelte: λ1 f1 + λ2 f2 + λ3 f3 = 0 ,d.h.:

λ1 sin(x)+λ2 sin(2x)+λ3 sin(3x)=0 fu ̈ralle x∈R.

Fu ̈r x = π2 erhalten wir: λ1 − λ3 = 0 ⇒ λ1 = λ3 .

Fu ̈r x = π4 erhalten wir...

Fu ̈r x = π3 erhalten wir damit...

Es wird dann gefolgert, dass lamda1=lamda2=lamda3=0 ist und die 3 Funktionen somit linear Unabhängig sind. 

Was ich nich nachvollziehen kann ist, dass für x die 3 Werte eingesetzt werden und dann eben die Gleichungen aufgestellt werden. Wenn ich für x=0 einsetze (x∈R) dann könnte ich doch die Lamda beliebig wählen und die Gleichung würde torzdem aufgehen. Somit ist doch eigentlich die zu Beginn erwähnte Voraussetzung für Lineare Unabhängigkeit nicht gegeben, da ich bei x=0 das Lamda beliebig wählen kann. 

Oder wo ist hier mein Denkfehler? 


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Student, Punkte: 12

 
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1 Antwort
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Eine Funktion ist Null, d.h. die Nullfunktion, wenn sie an jeder Stelle den Wert 0 hat. Vorgabe ist, dass eine Linearkombination die Nullfunktion ist. Ab da ist es fast egal, welche drei x man einsetzt, man kommt dann auf ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das nur die triviale Lösung hat.
Nur 0 oder generell Vielfache von $\pi$ sind hier nicht hilfreich als x-Werte. Warum sollte man die dann einsetzen? Nochmal: Vorgabe ist: Für ALLE x ist die Linearkombination =0.
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Vielen Dank für die Antwort.
In meinen Gedanken bleibt allerdings trotzdem hängen, dass für alle x (also auch x=0) die Linearkombination von den 3 Funktionen nur Null ergeben darf, wenn alle Lamda 0 sind. Da x ja alles sein kann, so auch 0 wäre doch dann Lamda frei wählbar. Für verschiedene X ist mir das klar. Nur darf x doch auch 0 sein und eben dann wären Lamda frei wählbar und somit wären die Funktionen doch linear abhängig.   ─   michitum 27.01.2024 um 15:20
Ja, für x=0 (u.a.) ist es für beliebige lambda erfüllt. Es gilt für alle x mit denselben, von x unabhängigen lambda. Lies nochmal genau: Zu zeigen: Es gibt $\lambda_i$ mit: für alle $x$ gilt $\lambda_1f_1(x)+... =0 \implies \lambda_i=0$. Das "$\implies$" ist zu zeigen.   ─   mikn 27.01.2024 um 15:50
Achso. Also gehe ich davon aus dass x immer für alles steht und picke mir wie in der Lösung einzelne X-Werte raus und löse das LGS allgemein. Da x dann quasi jederzeit alles sein kann darf ich nicht den Einzelfall mit x=0 betrachten, richtig?   ─   michitum 27.01.2024 um 17:01
Der Einzelfall x=0, muss (wie jeder andere Einzelfall auch) natürlich auch mit denselben $\lambda$'s erfüllt sein. Das ist vorausgesetzt.   ─   mikn 27.01.2024 um 17:16

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