Definitionsbereich und Lösungsmenge bestimmen

Aufrufe: 527     Aktiv: 26.08.2020 um 16:01

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kann mir bitte jemand alle Lösungsschritte zu folgender Aufgabe zeigen:

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Beim Definitionsbereich musst du die Frage beantworten "Was kann ich für z einsezten, damit es zu keinen Problemen kommt". Hier haben wir Probleme, wenn der Radikand der Wurzel negativ ist. Folglich ist \( \text{D} = \mathbb R^+_0\). Also alle nichtnegative Zahlen.

Ansonsten würde ich wohl so weiter machen

\(z = \sqrt z + 20\quad|-20,\text{ dann quadrieren)}\)

\((z-20)^2 = z\)

Ausmultiplizieren und bspw mit pq-Formel lösen.

\(z^2 - 41z + 400 = 0\)

\(z_1 = 16\)

\(z_2 = 25\)

Probe nicht vergessen, da entfällt die Lösung \(z_1 = 16\) und wir verbleiben mit \(z = 25\)

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Das ist eine quadratische Gleichung, auch wenn man es nicht softort sieht. Man kann z. B. ersetzen \(x = \sqrt{z}\), Dann steht da

\[ x^2 = x + 20 \,.\]

Daraus machen wir 

\[ x^2 - x - 20 = 0 \]

und benutzen die Lösungsformel für Quadratische Gleichungen

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-20)}}{2\cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} \,.\]

Das ergibt \(x_1 = 5, x_2 = -4\), bzw. \(z_1 = 5^2 = 25\). Die zweite Lösung \(z_2 = (-4)^2 = 16\) scheidet aus, da \(\sqrt{16} = 4\) und nicht \((-4)\).

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