Wahrscheinlich ist die Frage nicht mehr aktuell, aber falls die Antwort doch noch von Interesse ist:

Die Frage will darauf hinaus, dass die Summe mehrerer unabhängiger normalverteilten Zufallsgrößen wieder normalverteilt ist (dabei addieren sich Erwartungswerte und Varianzen jeweils), und dass man deshalb auch ausrechnen kann, wie der Mittelwert mehrerer unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen verteilt ist.

Hier hat man nun für 100 Personen lauter unabhängige Zufallsgrößen \( X_1,\dots,X_n \) und möchte wissen, wie ihr Mittelwert \( \overline X = \frac 1{100} \sum_i X_i \) verteilt ist. Nach dem, was ich geschrieben habe, ist \( X_1 + \dotsc + X_{100} \) normalverteilt mit Erwartungswert \( 100 \cdot 150 \) und Varianz \( 100 \cdot 36^2 \). Weil auch Vielfache von normalverteilten Größen wieder normalverteilt sind, ist damit \( \overline X \) normalverteilt mit Erwartungswert \( \frac 1{100} \cdot 100 \cdot 150 = 150 \) (genau wie Du vermutet hast!) und Varianz \( \frac {100 \cdot 36^2}{100^2} = \frac{36^2}{100} \), also Standardabweichung \( \frac{36}{10} = 3.6 \).

Man kann sich auch kurz merken: Betrachte ich den Mittelwert von \( N \) unabhängigen identisch normalverteilten Zufallsgrößen, so ist der dieser Mittelwert wieder normalverteilt mit dem gleichen Erwartungswert und der durch \( \sqrt N \) geteilten Standardabweichung. Das ergibt auch insofern Sinn, als der Mittelwert von vielen Messungen immer weniger weit um den Erwartungswert gestreut sein sollte, je mehr Messungen ich durchführe.

(Dass Mittelwerte mehrerer identisch normalverteilter Zufallsgrößen wieder normalverteilt sind, ist mehr oder weniger gerade das "Feature", das die Normalverteilung so besonders macht und dafür sorgt, dass Normalverteilungen so häufig auftreten.)