Wie muss man hier Vorgehen?

Aufrufe: 546     Aktiv: 21.03.2021 um 22:55

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Das Ergebnis X eines genormten Leistungstests ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert = 150 ; Standardabweichung = 36.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen Wert erreicht, der
a) kleiner ist als 140 (Zur Vollständigkeit mit gesendet)
b) größer ist als 175, (Zur Vollständigkeit mit gesendet)
c) im Bereich von 100 bis 200 liegt (Zur Vollständigkeit mit gesendet)

d) Der Leistungstest wird mit 100 Personen unabhängig voneinander durchgeführt. Welche Verteilung hat das Stichprobenmittel X̅? Geben Sie das Verteilungsmodell und die Werte für die relevanten Parameter an.

Ich weiß nur für d) nicht weiter.  Es muss ja ein Wert um 150 (Erwartungswert) sein oder? Bzw. näherungsweise 150, da dieser als Erwartungswert vorgegeben ist.
Ich hab am Anfang auch gedacht, dass es sich hierbei um eine Fangfrage handelt, aber das weiß ich leider nicht genau..
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Wahrscheinlich ist die Frage nicht mehr aktuell, aber falls die Antwort doch noch von Interesse ist:

Die Frage will darauf hinaus, dass die Summe mehrerer unabhängiger normalverteilten Zufallsgrößen wieder normalverteilt ist (dabei addieren sich Erwartungswerte und Varianzen jeweils), und dass man deshalb auch ausrechnen kann, wie der Mittelwert mehrerer unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen verteilt ist.

Hier hat man nun für 100 Personen lauter unabhängige Zufallsgrößen \( X_1,\dots,X_n \) und möchte wissen, wie ihr Mittelwert \( \overline X = \frac 1{100} \sum_i X_i \) verteilt ist. Nach dem, was ich geschrieben habe, ist \( X_1 + \dotsc + X_{100} \) normalverteilt mit Erwartungswert \( 100 \cdot 150 \) und Varianz \( 100 \cdot 36^2 \). Weil auch Vielfache von normalverteilten Größen wieder normalverteilt sind, ist damit \( \overline X \) normalverteilt mit Erwartungswert \( \frac 1{100} \cdot 100 \cdot 150 = 150 \) (genau wie Du vermutet hast!) und Varianz \( \frac {100 \cdot 36^2}{100^2} = \frac{36^2}{100} \), also Standardabweichung \( \frac{36}{10} = 3.6 \).

Man kann sich auch kurz merken: Betrachte ich den Mittelwert von \( N \) unabhängigen identisch normalverteilten Zufallsgrößen, so ist der dieser Mittelwert wieder normalverteilt mit dem gleichen Erwartungswert und der durch \( \sqrt N \) geteilten Standardabweichung. Das ergibt auch insofern Sinn, als der Mittelwert von vielen Messungen immer weniger weit um den Erwartungswert gestreut sein sollte, je mehr Messungen ich durchführe.

(Dass Mittelwerte mehrerer identisch normalverteilter Zufallsgrößen wieder normalverteilt sind, ist mehr oder weniger gerade das "Feature", das die Normalverteilung so besonders macht und dafür sorgt, dass Normalverteilungen so häufig auftreten.)
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Mathematiker auf Abwegen, Punkte: 60

 

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