Hallo,

folgendes Beispiel möchte ich nachvollziehen, nur leider verstehe ich die Varianzberechnung aus der Lösung nicht.

Geg (1) Gruppe von 20 Personen, je 10 Männer und 10 Frauen
Ges (1) Zufallsauswahl von 10 Pärchen, Erwartungswert & Varianz der Anzahl der Pärchen, die jeweils aus Mann und Frau bestehen, sind gesucht

Geg (2) Gruppe von 10 verheirateten Paaren
Ges (2) Zufallsauswahl von 10 Pärchen, Erwartungswert & Varianz der Anzahl der Pärchen, die tatsächlich miteinander verheiratet sind.

Lösungen:

(1) Erwartungswert:
Indikatorvariable \(X_{i}\) - Ausprägungen: 1 = "i"tes Pärchen besteht aus Mann und Frau, 0 = "i"tes Pärchen besteht nicht aus Mann und Frau

E(\(X_{i}\)) = \(\frac {(10 über 1) * (10 über 1)} {(20 über 2)}\)  =\(\frac {10} {19}\)

E(\(\sum_{i}X_{i}\)) = \(\frac {100} {19}\)

(1) Varianz

E(\(X_{i}\) ,\(X_{j}\)) = P(\(X_{i}\) = 1, \(X_{j}\) = 1) = P(\(X_{j}\) = 1|\(X_{i}\) = 1)*P(\(X_{i}\) = 1) = \(\frac {(9 über 1) * (9 über 1)} {(18 über 2)}\)  \(\frac {(10 über 1) * (10 über 1)} {(20 über 2)}\) =  \(\frac {90} {323}\)

Cov(\(X_{i}\) ,\(X_{j}\)) = E(\(X_{i}\)\(X_{j}\))  - E(\(X_{i}\)) * E(\(X_{j}\))  =  \(\frac {10} {6137}\)

Var(\(\sum_{i}X_{i}\)) = \(\sum_{i}\)Var(\(X_{i}\)) + \(\sum_{i \neq j}\)Cov(\(X_{i}\) ,\(X_{j}\)) = 10 * \(\frac {10} {19}\) * \(\frac {9} {19}\) + 10 * 9 * \(\frac {10} {6137}\) = 2,6397

(2)Erwartungswert

Indikatorvariable \(Y_{i}\) - Ausprägungen: 1 = "i"tes verheiratetes Pärchen, 0 = "i"tes Pärchen nicht verheiratetes Pärchen

E(\(Y_{i}\)) = \(\frac {10} {(20 über 2)}\)  =\(\frac {1} {19}\)

E(\(\sum_{i}Y_{i}\)) = \(\frac {10} {19}\)

(1) Varianz

E(\(Y_{i}\) ,\(Y_{j}\)) = P(\(Y_{i}\) = 1, \(Y_{j}\) = 1) = P(\(Y_{j}\) = 1|\(Y_{i}\) = 1)*P(\(Y_{i}\) = 1) = \(\frac {1} {17}\)  \(\frac {1} {19}\) =  \(\frac {1} {323}\)

Cov(\(Y_{i}\) ,\(Y_{j}\)) = E(\(Y_{i}\)\(Y_{j}\))  - E(\(Y_{i}\)) * E(\(Y_{j}\))  =  \(\frac {2} {6137}\)

Var(\(\sum_{i}Y_{i}\)) = \(\sum_{i}\)Var(\(Y_{i}\)) + \(\sum_{i \neq j}\)Cov(\(Y_{i}\) ,\(Y_{j}\)) = 10 * \(\frac {1} {19}\) * \(\frac {18} {19}\) + 10 * 9 * \(\frac {2} {6137}\) = 0,5279

Ich kann die Berechnung der Varianzen über die Summe der Indikatorvariablen nicht nachvollziehen.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, danke!

LG