Differentialgleichung 1. Ordnung

Aufrufe: 33     Aktiv: 02.07.2021 um 13:24

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Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Wir suchen die Lösung y = y(x) mit y(1) = 4 folgender Differentialgleichung $$2xy - (x^2+1)y' = 2x$$

Aufgabe dazu:

1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung durch Lösung des zugehörigen homogenen Systems und Variation der Konstante!
- Dabei habe ich mir Lagrange zu nutze gemacht, ist dies korrekt? Und meine nächste Frage, ich habe bis zu einen bestimmten Schritt gerechnet, nämlich bis zur Anwendung der Formel $e^{ln(a)}=a$ und dabei folgendes herausbekommen: $y=(x^2+1)*e^C$, nochmal umgeschrieben: $y=(x^2+1)*C$, ist dies bereits die allgemeine Lösung, oder muss ich noch weitere Rechenschritte gehen? Also quasi y = 0 etc.

2. Bestimmen Sie eine spezielle Lösung des gegebenen inhomogenen Systems durch den Ansatz, dass y(x) ein Polynom höchstens zweiten Grades ist!
- Hier wäre es schön einen ausführlicheren Ansatz zu bekommen, weil ich nicht weiß, was damit gemeint ist.

3. Formen Sie die Differentialgleichung so um, dass sie sich direkt durch Trennung der Variablen lösen lässt und lösen Sie die Differentialgleichung auf diese Art!
- Ist hierbei dann einfach nur wie bei 1. zu rechnen, nur anstatt mit Lagrange nimmt man hier Bernoulli?

 

Wie immer schon einmal vielen lieben Dank für eure Antworten, bisher hatte ich immer super Hilfe bekommen! :)

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Zu 1) Deine Lösung ist richtig, das kannst (und solltest!) Du selbst durch Einsetzen prüfen ("Probe machen").
Zu 2) Man setzt an \(y(x)=a\,x^2+b\,x+c\) mit unbekannten \(a,b,c\). "Ansatz" heißt immer: einsetzen in das Problem und die unbekannten so anpassen, dass es eine Lösung ist. Mach das. "Anpassen" geht über Koeffizientenvergleich, bedenke, die Gleichung muss für alle x gelten.
Zu 3) Ich weiß nicht, was Du hier (und in a) mit Lagrange und Bernoulli meinst. Die Dgl soll umgeschrieben werden in eine mit getrennten Variablen (schau nach, was das bedeutet, der Name sagt ja was!). Und dann ist es ohne besondere Regeln mit irgendwelchen Mathematiker-Namen zu lösen.
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