Binomischer Lehrsatz / Pascalsches Dreieck / Beweis

Aufrufe: 118     Aktiv: 13.06.2022 um 17:58

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Wir müssen die Potenzregel bei der mündlichen Abschlussprüfung beweisen können. 
Für den Beweis ist der Binomische Lehrsatz ideal. In der Schule haben wir das jedoch mit den Binomialkoeffizienten im Pasalschen Dreieck gemacht und dann für (a+b)^n verallgemeinert. 
Wir müssen alle Formeln/Sätze auch beweisen können. 

Nun zu meiner Frage: Für den Beweis der Potenzregel ist doch mathematisch nur der binomische Lehrsatz gültig, da man im Pascalschen Dreieck nicht davon ausgehen kann, dass dies für (a+b)^n ebenfalls gilt? 
Umgekehrt: Wenn ich nun den binomischen Lehrsatz anwende und ihn dann auch beweisen muss, würde nur der Beweis mit der vollständigen Induktion gelten oder kann ich den binomischen Lehrsatz auch anhand des Pascalschen Dreiecks herleiten? Denn der binomische Lehrsatz zeigt mir doch genau das, was beim Pascalschen Dreieck passiert, wenn ich (a+b)^n rechnen würde? 

EDIT vom 13.06.2022 um 15:50:

wichtige Info: 
Mit Potenzregel ist die Ableitungsregel f(x) = x^n --> f'(x)= n * x^n-1 gemeint (für n aus N und x aus R).
Den Beweis der Potenzregel kann ich. Mir stellt sich nur die obenstehende Frage bezüglich der Beweisführung des Binomischen Lehrsatzes (anhand von Pascalschem Dreieck und vollständiger Induktion).

EDIT vom 13.06.2022 um 16:26:

hier der Beweis: (x+h)^n wird "ausgeschrieben" mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks (bei uns) oder mit bin. LS
gefragt

Punkte: 171

 

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Was meinst du denn mit Potenzregel, also was soll bewiesen werden?   ─   cauchy 13.06.2022 um 13:40

Es soll die Potenzregel beim Ableiten bewiesen werden für n aus den natürlichen Zahlen und x aus den reellen Zahlen.
Also f(x) = x^n --> f'(x)= n * x^n-1
  ─   nas17 13.06.2022 um 13:52

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Für mich ist das alles schwammig: Erst willst Du die Potenzregel beweisen. Jetzt klingt es so, als willst Du den bin. Lehrsatz beweisen? Was denn nun? Und was hätte die Potenzregel damit zu tun? Verstehe ich nicht.
"Für den Beweis der Potenzregel...." : Der bin. LS ist immer gültig. "...dass dies ... gilt" was ist denn jetzt "dies"?
Bitte mal klar sagen: Was willst Du womit beweisen? Worte wie "dies...gilt", "das... gilt" sind dabei zu meiden.
  ─   mikn 13.06.2022 um 16:06

Um die Potenzregel zu beweisen benötige ich Binomialkoeffizienten (zumindest in der Beweisführung, die ich gelernt habe). Die Binomialkoeffizienten kommen im Pascalschen Dreieck vor. In der Schule haben wir den Beweis (poste ihn gleich als EDIT) ohne binomischen Lehrsatz gemacht. Der binomische Lehrsatz steht jedoch genau für die Summe, welche im Beweis benötigt wird: (x+h)^n
An der mündlichen Prüfung hätte ich bei diesem Beweis gerne den Beweis mit bin. LS durchgeführt, da wir diesen jedoch nicht besprochen hatten, müsste ich ihn beweisen können (so wie alle anderen Formeln/Sätze).
--> Nun meine Frage: Reicht es, wenn ich den bin. LS anhand des Pascalschen Dreiecks erkläre oder benötigt es dafür die Beweisführung mit der vollständigen Induktion?
Für mich ist der Beweis der Potenzregel mit bin. LS deutlich leichter zu erklären, da ich nur "in die Formel einsetzen muss".
  ─   nas17 13.06.2022 um 16:23

Wenn du für den Beweis der Ableitungsregel den binom. Lehrsatz verwendest, denke ich nicht, dass du diesen dann auch nochmal beweisen musst, wenn überhaupt, wird danach gefragt, wie man ihn beweisen könnte. Ansonsten müsstest du ja auch die Körperaxiome für die reellen Zahlen nachweisen etc. Darüber hinaus werden in mündlichen Prüfungen in der Regel keine vollständigen Beweise abgefragt, sondern lediglich Beweisskizzen oder die Ideen, die dahinterstecken.   ─   cauchy 13.06.2022 um 16:23

Edit: Wenn ihr den binom. Lehrsatz nicht besprochen habt, kann es passieren, dass man sich damit in einer mündlichen Prüfung ein Eigentor schießt. Der Beweis ohne binom. Lehrsatz kann beispielsweise mittels Polynomdivision erfolgen. Wenn man diese richtig durchführt, also aufschreibt, ist man damit eigentlich schon so gut wie fertig.   ─   cauchy 13.06.2022 um 16:26

Dieses Eigentor möchte ich verhindern! :D
Ich habe mich gefragt, wie wir den Beweis machen können OHNE den binomischen Lehrsatz besprochen zu haben.
Da wir das Pascalsche Dreieck verwendet haben, dachte ich, dass dies als "Herleitung" des binomischen Lehrsatzes zählt oder umgekehrt. Habe mir den Beweis mit der vollständigen Induktion angeschaut und der ist schon nicht ohne (für mein Niveau).
Den alternativen Beweis mit Polynomdivision kannte ich nicht. Muss ich mir demnach noch anschauen. :)
  ─   nas17 13.06.2022 um 16:29

Ihr habt ihn einfach "kommentarlos" benutzt, nur dass ihr ihn eben ausgeschrieben habt und nicht in der Summenform da stehen habt. Ich denke, man kann dann keinen Beweis dafür verlangen, wenn das nicht explizit besprochen wurde. Es sollte also kein Problem sein, die verkürzte Schreibweise zu nutzen.   ─   cauchy 13.06.2022 um 16:39

Danke für die Klarstellung! Ich habe im Nachhinein den binomischen Lehrsatz im Internet gesehen und gemerkt, dass dieser identisch mit dem Ablauf aus dem Pascalschen Dreieck ist.
Dann kann ich ihn an der mündlichen Prüfung sicherlich erwähnen :)
Mein Lehrer meinte nur, dass irgendwelche Formeln ausserhalb des Unterrichts auch bewiesen werden müssen. Darum wollte ich auf Nummer sicher gehen.
  ─   nas17 13.06.2022 um 16:47

"Nummer sicher" können wir nicht bieten, das kann nur der Lehrer. Ich sehe aber auch keinen Unterschied zwischen dem von Euch benutzten Ablauf im PD und dem bLS. Insofern kann man sagen, der war im Unterricht dran (und erfordert keinen extra Beweis). Alle Angaben ohne Gewähr.   ─   mikn 13.06.2022 um 16:52

Besten Dank fürs Anschauen!
Kann jemand noch eine kurze Antwort schreiben, damit ich sie abhaken kann? :)
  ─   nas17 13.06.2022 um 17:08

Nett, dass Du dran denkst. Das überlasse ich cauchy.   ─   mikn 13.06.2022 um 17:13
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Grundsätzlich kann in mündlichen Prüfungen alles gefragt werden, was im Unterricht dran war. Hier wurde lediglich der binomische Lehrsatz ausgeschrieben, weshalb er für den Beweis auch ohne Weiteres verwendet werden darf. :)
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