Für den sehr wahrscheinlichen Fall, dass du \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{3^{n-1} \cdot n +2^n}{3^n \cdot (1+\sqrt{n})^2}\) meinst, würde ich den Term wie folgt umschreiben:

\(\dfrac{3^{n-1} \cdot n +2^n}{3^n \cdot (1+\sqrt{n})^2} =\dfrac{3^{-n} \cdot (3^{n-1} \cdot n +2^n)}{(1+\sqrt{n})^2} =\dfrac{\frac{1}{3}n+\left(\frac{2}{3}^n\right)}{(\sqrt{n}+1)^2} =\dfrac{n}{3\cdot (\sqrt{n}+1)^2} +\dfrac{\left(\frac{2}{3}^n\right)}{(\sqrt{n}+1)^2}=\dfrac{n}{3\cdot (n+2\sqrt{n}+1)} +\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \cdot \dfrac{1}{n+2\sqrt{n}+1}\)

Der erste Summand strebt für \(n\longrightarrow \infty\) offensichtlich gegen \(\dfrac{1}{3}\). Beim zweiten Summanden exisitert der Grenzwert genau dann, wenn die Grenzwerte der beiden Faktoren existieren. In dem Fall gelten sowohl

\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n =0\), da \(\dfrac{2}{3}<1\) 

sowie \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{n+2\sqrt{n}+1}=0\)

Somit geht also der erste Summand des umgestellten Terms gegen \(\dfrac{1}{3}\) und der zweite Summand (als Produkt der beiden Nullfolgen) gegen Null.

Damit gilt letztendlich \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{3^{n-1} \cdot n +2^n}{3^n \cdot (1+\sqrt{n})^2}=\dfrac{1}{3}\)

Tipp: Potenzen mit gleichen Basen oder sogar gleichen Exponenten versuchen immer zusammenzufassen, macht die Terme meistens einfacher. Manchmal hilft es auch eine Summe im Zähler in eine Summe von Brüchen aufzuteilen. Meist strebt nur ein Teil gegen den gewünschten Grenzwert.

Hoffe das hilft dir weiter.