Komplanare Vektoren

Aufrufe: 83     Aktiv: 07.09.2022 um 02:22

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Hallo zusammen,

in meinem Mathebuch steht folgende Aussage zu komplanaren Vektoren:

  • Drei Vektoren a,bundc sind komplanar, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt, z.B. a=rb+sc.


Ich verstehe den Begriff der Komplanarität, kann aber nicht nachvollziehen, wieso eins der Vektoren als Linearkombination der beiden Anderen dargestellt werden kann wenn die Bedingung zutrifft. Wieso können nicht alle drei Vektoren als Linearkombination voneinander dargestellt werden, und wie könnte ich den Zusammenhang der Komplanarität und Linearkombination vorstellen/erklären? 

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Wenn zwei $\vec{a},\vec{b}$ Vektoren linear abhängig (Kollinear) sind, dann gilt  $\vec{a}=r\cdot \vec{b}$ für ein $r\in \mathbb{R}$. Geometrisch bedeutet das, dass die Vektoren parallel verlaufen. Bei Komplanarität gilt $\vec{a}=r\cdot \vec{b}+s\cdot \vec{c}$ für drei Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ und $r,s\in \mathbb{R}$. Geometrisch ist die Addition von Vektoren ja eine Aneinanderreihung, wobei der entstehende Vektor vom Anfang des ersten zum Ende des letztens Ausgangsvektors führt. Also ja, komplanar heißt wenn sich der dritte Vektor geometrisch durch eventuelle Streckung und Spiegelung durch die Vektoraddition der beiden anderen darstellen lässt. Mach dir das vielleicht einmal an einem einfachen Beispiel (zweidimensional) deutlich.
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