Punktweise konvergiert

Aufrufe: 474     Aktiv: 24.01.2021 um 17:57
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Sei f : R → R eine Funktion und sei \( (a_{n})_{n∈N} \) eine folge reeller Zahlen mit \( lim_{n→∞}\) \(a_{n}\)=0. Wir setzen \( f_{n}(x):=(x+a_{n})\) für n∈N und x ∈ R.

Zeigen Sie: Ist f stetig, so konvergiert \( (f_{n})_{n∈N} \) punktweise gegen f.

 

Kann mir bitte jemand helfen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

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Ich nehme mal an, du meintest \(f_n(x)=f(x+a_n)\), sonst stimmt die Aussage nicht.

Wir wollen zeigen, dass  $$\forall x\in\mathbb R:\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$$ Setzen wir also die Definition der Konvergenz ein: $$\forall x\in\mathbb R\ \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\geq N: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$

Seien also \(x\in\mathbb R,\varepsilon>0\) beliebig. Da \(f\) stetig ist, gibt es ein \(\delta>0\), sodass für alle \(y\in\mathbb R\) mit \(|y-x|<\delta\) gilt, dass \(|f(y)-f(x)|<\varepsilon\). Da \(a_n\to 0\), gibt es ein \(N\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\geq N\) gilt, dass \(a_n<\delta\). Dann gilt für alle \(n\geq N\), dass \(|f_n(x)-f(x)|=|f(x+a_n)-f(x)|<\varepsilon\), was zu zeigen war.

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Danke für die ausführliche Erklärung das hilft mir sehr, das ganze zu verstehen! Kann man anhand dieser Erklärung irgendwie noch ein Gegenbeispiel dazu finden, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist? Also bzw. wie kann man das Beispiel herausfinden?   ─   jessy234 24.01.2021 um 17:31
Das Problem, das wie immer der gleichmäßigen Konvergenz im Wege steht, ist dass man das \(\delta\) erst nach dem \(x\) wählen kann. Um ein Gegenbeispiel zu finden, brauchst du eine Funktion, bei der dieses \(\delta\) sehr groß werden kann, z.B. \(f(x)=x^2\). Setze \(a_n=n^{-1}\) (Hier kannst du eigentlich jede beliebige Folge nehmen, aber je einfacher die Folge, desto einfacher der Beweis). Wähle \(\varepsilon:=1\). Für alle \(N\in\mathbb N\) wähle \(x=N\) und \(n=N\). Dann gilt \(|f_n(x)-f(x)|=2+\frac1N\geq\varepsilon\), also ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.   ─   stal 24.01.2021 um 17:38
Danke Danke Danke!
   ─   jessy234 24.01.2021 um 17:39
Aber wenn f differenzierbar und f´ beschränkt ist, so konvergiert sie doch gleichmäßig gegen f oder?   ─   jessy234 24.01.2021 um 17:53
Ja, dann ist punktweise Konvergenz immer gleichmäßig, weil \(f\) dann insbesondere Lipschitz-stetig ist.   ─   stal 24.01.2021 um 17:55
Könnten sie mir diese noch erklären, wie man dies beweist?   ─   jessy234 24.01.2021 um 17:56
Du kannst dann meinen Beweis von oben analog durchführen, nur dass du \(N\) unabhängig von \(x\) wählen kannst. Versuch das mal selbst.   ─   stal 24.01.2021 um 17:57

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