Kleinst mögliche $\sigma \text {-Algebra}$

Erste Frage Aufrufe: 118     Aktiv: 02.11.2022 um 08:16

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Hallo ihr lieben,
ich hätte da eine Aufgabe bei der ich Hilfe benötige, sie lautet:
Ist \( M \subset \mathbb{P}(\Omega) \), so ist über
\(\sigma(M):=\bigcap\left\{\mathcal{A}: \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega), \mathcal{A} \text { ist } \sigma \text {Algebra, } M \subset \mathcal{A}\right\}\)
die kleinste \( \sigma \)-Algebra definiert, die \( M \) enthält. (Es braucht nicht gezeigt werden, dass es sich hierbei um eine \( \sigma \)-Algebra handelt.)

Wir betrachten den Versuch des Werfens eines Würfels. Konstruiere unter Verwendung der obigen Definition den Wahrscheinlichkeitsraum über \( \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \) mit der kleinst mögliche \( \sigma \)-Algebra, die man benötigt um die Wahrscheinlichkeiten von "eine 1 geworfen" und "eine 2 oder eine 3 geworfen" zu bestimmen.

Heißt ich würde gerne $\sigma (\{1\},\{2,3\})$ bestimmen.

Ich habe mir die Funktionsweise der oben gegeben Algebra erstmal über ein einfacheres Beispiel mit \( \Omega=\{1,2,3,4\} \) und $\sigma (\{1\},\{2\})$ klar gemacht. Das ist ja in dem Sinne nur die Potenzmenge und halt die komplementären Ereignisse, also: $\sigma (\{1\},\{2\}) = \{\emptyset, \Omega,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\}\}$

Allerdings macht mir das Bestimmen von $\sigma (\{1\},\{2,3\})$ ein wenig Schwierigkeiten. Muss das jetzt sein:
(1) $\sigma (\{1\},\{2,3\}) = \{\emptyset, \Omega,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}... \}$
(2) $\sigma (\{1\},\{2,3\}) = \{\emptyset, \Omega,\{1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\},\{1,2,3\}... \}$
(3) Was ganz anderes?
(... steht stellvertrenden für die komplementären Ereignisse)

LG
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