Du kennst ja anscheinend die Reihe für die e-Funktion.Im Zähler verwende \(z^{2k+1}=(z^2)^{k+1}z^{-1}\), nun durch Index-Verschiebung auf den vergleichbaren Summanden wie bei der Reihe für die e-Funktion bringen.. Dann vergleiche, es bleibt noch ein kleiner Unterschied zur e-Funktion, aber den bringt man durch Subtraktion/Addition ins Spiel.

Danach erübrigt sich wahrscheinlich(!, schaue selbst) die Diskussion über Konvergenzradius, denn der überträgt sich ja von der e-Funktion.

Konvergenzradien bestimmt man am sichersten mittel Quotientenkriterium. Nennt man das n-te Glied der Reihe z.B. u_n, dann berechnet am alle die z-Werte, für die \(\lim_{n->\infty} |u_{n+1}/u_n|<1\) ist. Siehe dazu mein Videotipp.