Ich habe das folgende Problem:

>$f,f_1,...,f_n,...$ seien messbare Funktionen, so dass $f_n\stackrel{\mu}{\rightarrow}f$ und für alle n $|f_n(x)|\leq 1$ für fast jedes x. Zeige, dass auch $|f(x)|\leq 1$ für fast jedes x.

 

Wir kennen die folgenden drei Punkte 

 

 1. $f_n\stackrel{\mu}{\rightarrow}f\Leftrightarrow \forall \epsilon>0\,\,\mu\left(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\}\right)\rightarrow 0$

 2. $|f_n(x)|\leq 1$ für fast jedes x $\Leftrightarrow \mu(\{x:|f_n(x)|>1\})=0$

 

Ich muss zeigen, dass $\mu(\{x:|f(x)|>1\})=0$ ist. 

 

Grafisch macht es wirklich Sinn, aber ich weiß irgendwie nicht, wo ich anfangen soll. Zuerst dachte ich, dass ich eine Menge finden könnte, die $\{x:|f(x)|>1\}$ enthält und das Maß 0 hat, so dass ich die Monotonizität des Maßes verwenden kann, aber ich glaube nicht, dass das funktioniert, weil ich die beiden Punkte von oben nicht verwenden kann.

 

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wo ich anfangen soll, man muss nicht das ganze Problem lösen.

 

Dankeschön