Vollständige Induktion

Aufrufe: 50     Aktiv: 04.02.2021 um 14:14

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Hey hey ihr Lieben, 
Ich wollte einmal nach Tipps für die vollständige Induktion Fragen. Das Prinzip habe ich verstanden und auch das Anwenden der IV klappt meisten, jedoch scheitere ich daraufhin häufig kein schlussendlichen umformen um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen. Habt ihr irgendwelche Ideen worauf man achten kann oder so?
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In der "höheren" Mathematik kommen immer und überall die Termumformungen aus der Mittelstufenmathematik vor!!   ─   gerdware 04.02.2021 um 14:14

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Mir hat es beim Umformen geholfen, falls man in die eine Richtung nicht weiterkommt, dass man dann vom Ergebnis zurück umformt um auf sein bisheriges Zwischenergebnis zu kommen.

beim Induktionsschritt weißt du ja immer, wie der Term am Ende aussehen muss und diesen dann umzuformen hat mir öfters geholfen
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Wenn du nicht weißt, wie du weiter umformen sollst, hilft es oft, von der anderen Seite weiterzumachen. Kannst du das, wo du hinwillst, zu dem umformen, was du schon gerechnet hast?

Beispiel: Zeige \(\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) für alle \(n\in\mathbb N\). Ich überspringe mal Induktionsanfang und -voraussetzung und komme gleich zum Induktionsschritt, da wird es ineressant: Wir rechnen also für \(n+1\): $$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2\overset{IV}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$$ und jetzt siehst du vielleicht nicht sofort, wie du weitermachen kannst. Wenn du aber sowohl den Zähler in diesem Bruch als auch den Zähler in dem Ergebnis, das du haben willst, also \(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6\) ausmultiplizierst, dann siehst du, dass die Gleichung aufgeht.
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Der eigentlich schwierige Teil liegt ja im Induktionsschluss. Dort möchtest du die Behauptung ja für \(n+1\) statt für \(n\) zeigen. 
Man startet ja meist auf einer Seite und stellt erstmal soweit um, bis man die Induktionsvoraussetzung IV einsetzen kann. Wenn du dann deinen Term weiter umstellst, um zu deinem Zielterm zu gelangen und nicht mehr weiter weist, dann zäume das Pferd quasi von hinten auf. Nimm dir deinen Zielterm und versuche diesen soweit umzuformen, dass du dort hinkommst, wo du stehen geblieben bis. Dann findet sich meistens die Verbindung einfacher, als wenn man sich von einer Seite aus festbeist. Ich würde empfehlen dies aber als Nebenrechnung zu machen, damit du dann am Ende deinen Induktionsschritt schlüssig in eine Richtung aufschreiben kannst.

Wenn du ein Beispiel hast, mit den du Probleme hast, kannst du das auch gerne posten.


Hoffe das hilft weiter.
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