(Twitter)
1
Der Gradient und ein Normalenvektor stehen senkrecht zur Niveaulinie in \(\mathbb{R}^2\). Sie gehören also beide zum Normalraum der Niveaulinie in diesem Punkt. Da der Normalraum hier eindimensional ist, sind die beiden Vektoren linear abhängig, und das Skalarprodukt nur dann Null, wenn einer der beiden Vektoren Null ist.
Beantwortet das Deine Frage?
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
Wie kann man sich denn das in 3 d vorstelle?
Wenn ich an einen punkt eine tangentialebene lege, so sollte der gradient ja in dieser ebene liegen.
Laut meinem skript steht er aber senkrecht zur tangentialebene. ─ sebii2 15.12.2020 um 08:32
Wenn ich an einen punkt eine tangentialebene lege, so sollte der gradient ja in dieser ebene liegen.
Laut meinem skript steht er aber senkrecht zur tangentialebene. ─ sebii2 15.12.2020 um 08:32
Du müsstest jetzt mal klären, von welcher Tangentialebene Du sprichst: Von der Tangente an eine Niveaulinie in \(\mathbb{R}^2\), oder von der Tangentialebene an den Graphen von \(f\)? Bei alledem gehe ich davon aus, dass \(f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) abbildet. Der Gradient ist dann immer ein Vektor in der \((x,y)\)-Ebene, also i.A. nicht in der Tangentialebene an den Graphen enthalten. Enthalten ist er nur, wenn er Null ist. Andererseits steht er immer dort, wo er nicht Null ist, senkrecht auf den Niveaulinien. Dort, wo er Null ist, haben die "Niveaulinien" eine Singularität, stellen also oft keine Linie dar.
─
slanack
15.12.2020 um 09:52
Es ist anschaulich klar, dass der Gradient senkrecht auf den Niveaulinien steht, denn entlang der Niveaulinien ist \(f\) konstant. Der Gradient zeigt aber immer in die Richtung des größten Anstiegs, also quer dazu.
─
slanack
15.12.2020 um 09:55
