Polinomdivision

Aufrufe: 266     Aktiv: vor 8 Monaten, 2 Wochen

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Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³-x²-x + 1
Berechnen Sie die Hoch – und Tiefpunkte, den Wendepunkt und die Nullstellen des Graphen von f.
Berechnen Sie die Gleichung der Normale im Wendepunkt.

Ich hatte gedacht, dass ich da erstmal die Polynomdivsion anwenden muss? In der Lösung ist es jedoch so, dass gleich die Ableitungen gebildet werden. Ich verstehen leider nicht, warum gleich die Ableitungen gebildet werden und "ab wann" ich dann die Polynomdivision anweden muss. Mir ist natürlich klar, dass ich sie anwende, wenn Ausklammern und pq-Formel und Subst.-meth. nicht greifen, dass ich sie anwenden kann, aber in diesem Beispiel weiß ich nicht weiter. Könntet ihr mir bitte helfen?

 Besten Dank!

 

gefragt vor 8 Monaten, 2 Wochen
p
polynomdivision,
Student, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Hey, also die Polynomdivision brauchst du nur für die Bestimmung der Nullstellen. Dafür musst du durch probieren eine Nullstelle herausfinden (probiere mal + und - 1 oder so) und mit der gefundenen Nullstelle kannst du dann Polynomdivision durchführen, um ein quadratisches Polynom zu bestimmen, für das du die pq Formel anwenden kannst. Die Ableitungen brauchst du für die weiteren Aufgaben. Die 1. Ableitung gleich null zu setzen und damit kritische Punkte für Extrema zu bestimmen. Die 2. Ableitung benötigst du für die hinreichende Bedingung, zur Überprüfung, ob in den ermittelten Extremalstellen ein Minimum oder Maximum existiert Die 2. Ableitung benötigst du auch für die notwendige Bedingung für Wendepunkte. Dazu setzt du die 2. Ableitung null, löst den Ausdruck nach x und erhälst deine mögliche Wendestelle, die du dann durch einsetzen in die 3. Ableitung (hinreichende Bedingung für Wendepunkte) verifizierst.
geantwortet vor 8 Monaten, 2 Wochen
el_stefano
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 4.79K
 

Alle Lösungen bezüglich Extrema und Wendepunkten sollten mit pq Formel oder einfacher Umformung möglich sein.   ─   el_stefano, vor 8 Monaten, 2 Wochen

Achja ganz übersehen:

Die Normale am Wendepunkt bestimmst du, in dem du den Anstieg am Wendepunkt ausrechnest. Dafür setzt du die x-Koordinate des WP in die 1. Ableitung ein. Das ist nun allerdings der Anstieg der Tangente. Wir suchen aber die Normale, die senkrecht auf der Tangente steht.

Der Anstieg der Normalen an der Stelle \( x_0 \) ist dann definiert durch:

\( - frac{1}{f‘(x_0)} \)

Mit Anstieg und dem Wendepunkt lässt sich dann auch der Schnittpunkt mit der y-Achse ermitteln, so dass du deine Normalengleichung hast.
  ─   el_stefano, vor 8 Monaten, 2 Wochen
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