Zuerst berechnen wir die Nullstellen der Funktion:

\(\frac{3}{a^2}(x^3-2ax)=0\)
\(x^3-2ax=0\)
\(x_1=0\) oder \(x^2-2a=0\)
\(x^2=2a\)
\(x_2=\sqrt{2a}\) oder \(x_3=-\sqrt{2a}\)

Nun berechnen wir:

\(A=\int\limits_{-\sqrt{2a}}^0 f(x)\ \mathrm dx-\int\limits_0^{\sqrt{2a}} f(x)\ \mathrm dx\)

Wenn wir die Punktsymmetrie von \(f\) ausnutzen (d.h. f(x)=-f(-x)):

\( A=-2\int\limits_0^{\sqrt{2a}} f(x)\ \mathrm dx\\
=2\int\limits_0^{\sqrt{2a}} \frac{3}{a^2}(2ax-x^3)\ \mathrm dx\\
=\frac{6}{a^2}\int\limits_0^{\sqrt{2a}} (2ax-x^3)\ \mathrm dx\\
=\frac{6}{a^2}[ax^2-\frac{1}{4}x^4]_0^\sqrt{2a}\\
=\frac{6}{a^2}(a\cdot 2a-\frac{4a^2}{4})\\
=6(2-1)=6\)

Grüße