Konvergenz von Funktionsreihen

Aufrufe: 530     Aktiv: 04.02.2021 um 15:05
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Hallo

Für welche x ∈ R konvergieren die folgenden Funktionenreihen:
i) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {cos(nx)} {n^2} \)
ii) \( \sum_{n=0}^{\infty} {2^{-nx}} \)

Wie geh ich da überhaupt ran? Danke für jede Hilfe 

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Die erste Reihe konvergiert absolut. Man kann sie abschätzen zu der Reihe \( \sum _{n=1} ^\infty \frac 1{n^2}\) (man verwendet also das Majorantenkriterium).
Und versuche die zweite Reihe mal als eine geometrische Reihe darzustellen.
Ich hoffe das hilft dir weiter.   ─   anonym42 04.02.2021 um 14:06
Danke! Das abschätzen bei der ersten Reihe hab ich verstanden und bei der 2. Reihe konnte ich es in eine geometrische Reihe umwandeln, sodass dort \(\frac {2^x} {2^x-1}\) raus kam. Aber bin ich damit schon fertig? Die Aufgabe fragt ja für welche x. Die einzige Einschränkung die mir spontan auffällt, ist dass bei der 2. Reihe x nicht 0 sein darf.   ─   sarah.12 04.02.2021 um 14:54
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Die geometrische Reihe \( \sum _{n=0} ^\infty q^n\) divergiert in den reellen Zahlen für \( |q| \geq 1\). Das schränkt deine \(x\) Werte ein.

 

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Das Ergebnis aus deinem Kommentar von oben ist richtig. Es gilt aber nur für bestimmte \( x\). (wie du z.B. richtig geschrieben hast für \( x=0\) nicht).   ─   anonym42 04.02.2021 um 15:03

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