Allgemeine Kreisgleichung

Aufrufe: 651     Aktiv: 25.05.2022 um 22:54
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Die allgemeine Kreisgleichung lautet wie folgt: x^2+y^2+ax+ab+c=0
Beim Ausprobieren in Geogebra habe ich gemerkt, dass nicht jede Gleichung dieser Form einen Kreis gibt. Gemäss meinen Informationen ist es nur ein Kreis, wenn man die allgemeine Kreisgleichung auf die Mittelpunktsgleichung eines Kreises [(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 <-- wobei M(u,v)] durch Äquivalenzumformung bringt. 

Folgendes Beispiel ist mir aufgefallen: x^2 + y^2 + 2x + 2y + 3 = 0
Diese ist in der Form der allgemeinen Kreisgleichung geschrieben, gibt jedoch keinen Kreis, weil beim Umformen in die Mittelpunktsgleichung r^2 ein negatives Ergebnis gibt (-1), was nicht sein kann. 

Nun zu meiner Frage: Warum gibt es die allgemeine Kreisgleichung überhaupt, wenn man sie danach in die Mittelpunktsgleichung umformen muss? Gibt es Anzeichen (ausser dass der Koeffizient vor x^2 und y^2 gleich sein muss) auf einen Kreis, ohne in die Mittelpunktsgleichung umformen zu müssen? 
Ich forme jeweils mittels quadratischer Ergänzung um. Zudem ist das Ablesen von Radius und Mittelpunkt bei der allgemeinen Kreisgleichung deutlich aufwändiger...
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Danke! Die Antworten sind sehr hilfreich :)   ─   nas17 25.05.2022 um 20:44
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2 Antworten
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Moin,
die allgemeine Kreisgleichung sieht wie  folgt aus: \((x-\lambda_1)^2+(y-\lambda_2)^2=r^2\), ausmultipliziert ergibt sich \(x^2-2\lambda_1 x+y^2-2\lambda_2 y+\lambda_1^2+\lambda_2^2=r^2\). Die Gleichung wie du sie formuliert hast, gilt also im \(\mathbb{R}^2\) (ich nehme an dich interessieren wirklich nur reelle Werte) nur mit \(a=2\lambda_1\), \(b=2\lambda_2\) und \(c=\lambda_1^2+\lambda_2^2-r^2\).
Dann kannst du die Koeffiezienten vergleichen. Deine allgemeine Form gilt also nur, wenn \(\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2\ge c\) gilt (Gleihheit tritt für r=0 ein). In deinem Beispiel ist aber \(\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2=2<3=c\). Demnach hat das Beispiel keine Lösungen.
LG
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Moin, herzlichen Dank für die Erklärung! Diese Bedingung habe ich gesucht! :) Wie bist du jedoch auf die 1/4a^2 und 1/4b^2 gekommen?   ─   nas17 25.05.2022 um 20:39
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Es gilt \(\lambda_1^2+\lambda_2^2-r^2=c\). Da \(r^2\ge 0\) folgt \(\lambda_1^2+\lambda_2^2\ge c\). Mit eingesetzten \(\lambda\) folgt nun die Ungleichung.   ─   fix 25.05.2022 um 21:10
Diese Schritte konnte ich nachvollziehen. Ich verstehe nicht, warum Lamda^2 das gleiche ist wie 1/4a^2?
Sprich, von wo kommen die 1/4? Hat das etwas mit de quadratischen Ergänzung zu tun? Denn die Ungleichung gilt ja für jede Kreisgleichung (habe auch andere Beispiel mit deiner Bedingung probiert)   ─   nas17 25.05.2022 um 21:16
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Erinnere dich, dass wir a als \(a=2\lambda_1\) und b analog definiert hatten. Daraus olgt dann das \(\frac{1}{2}^2=\frac{1}{4}\)   ─   fix 25.05.2022 um 21:40
Habe vor lauter Rechnerei die Übersicht verloren.. Klar, dann ist Lambda^2 = (a/2)^2 was 1/4a^2 entspricht. Danke für deine Geduld und verständliche Erklärung! Demnach muss ich nur diese Bedingung betrachten und kann vor dem Umformen bereits sagen, ob meine Gleichung eine Kreisgleichung ist oder nicht? Das ist ja herrlich.. :)   ─   nas17 25.05.2022 um 21:52
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Genau   ─   fix 25.05.2022 um 22:08

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Es ist $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ die allgemeine Kreisgleichung mit Mittelpunkt $M(x_0|y_0)$ und Radius $r$. Du kannst jede Kreisgleichung in die Form $x^2+x^2+ax+by=c$ überführen. Aber nicht jede Gleichung dieser Form beschreibt immer einen Kreis, wie du mit deinem Beispiel aufgezeigt hast.
Wofür ist diese Form mit den Parametern sinnvoll? Falls du drei Punkte gegeben hast (die nicht alle auf einer Geraden liegen dürfen) durch die ein Kreis mit einem gesuchten Mittelpunkt und Radius verlaufen soll, kannst du diese Form nutzen um die drei Punkte einzusetzen und mit Hilfe des Gleichungssystems was du daraus erhältst die Parameter $a$, $b$ und $c$ zu bestimmen. Dann kannst du mit Hilfe quadratischer Ergänzung auf die gesuchte allgemeine Kreisgleichung schließen bei der du dann Mittelpunkt und Radius ablesen kannst.
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Danke für die Antwort! Diese Variante kannte ich noch nicht. :)
Dann hätte ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Parameter a,b,c (könnte Gaussalgorithmus anwenden)? Reine Interessensfrage: Wie würde ich merken, wenn die drei Punkte nicht auf einem Kreis liegen, sondern z.B. auf einer Ellipse? Der Radius würde wahrscheinlich Probleme machen, oder?   ─   nas17 25.05.2022 um 20:43
Ja Gauß-Algorithmus wäre möglich. Du kannst das auch mit Hilfe deines GTR lösen lassen^^. Ein Kreis ist durch drei unterschiedliche Punkte seines Bogens eindeutig festgelegt. Voraussetzung ist, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen. Betrachtet man das Dreieck, das die drei Punkte bilden, so hat das Dreieck einen eindeutigen Umkreis auf dem alle drei Punkte liegen.   ─   maqu 25.05.2022 um 20:55
GTR dürfen wir leider nicht benutzen. Bei einer Ellipse liegen doch auch drei Punkte nicht auf einer Geraden?   ─   nas17 25.05.2022 um 20:58
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Bei der Ellipse hast du ja keinen Radius der überall gleich ist. Es ist $\frac{(x-x_0)^2}{a}+\frac{(y-y_0)^2}{b}=1$ die Ellipsengleichung mit $a$ als „horizontalen Radius“ und $b$ als „vertikalen Radius“. Sobald also vor dem $x^2$ und von dem $y^2$ der Faktor $1$ steht hast du eine Kreisgleichung, andernfalls eine Ellipse.   ─   maqu 25.05.2022 um 21:44
Der Faktor kann bei der Kreisgleichung auch 2,3 etc. sein, er muss nur jeweils identisch sein?   ─   nas17 25.05.2022 um 21:54
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@nas17 du hast recht der Faktor muss identisch sein, entschuldige die Ungenauigkeit   ─   maqu 25.05.2022 um 22:54

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