Analysis vollständige Induktion

Aufrufe: 321     Aktiv: 21.10.2023 um 07:23

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Hallo, wir haben in Analysis einen nicht ganz so erklärfreudigen Professor auch nicht wen man ihm Fragen stellt. Ich habe davor noch nie etwas mit Analysis zu tun gehabt, daher habe ich (noch) keine Ahnung. Ich weiß leider icht einmal wie man das am besten alles anschreiben sollte.

Ich habe folgende Aufgabenstellung:
"Behauptung:
    Für beliebige \(m,n\in \mathbb{N}\) ist \((m+1)^n-1\) ohne Rest durch \(m\) teilbar.
Beweisen Sie diese Behauptung:
1) mittels vollständiger Induktion,
2) mittels Zurückführung auf eine bekannte Summenformel."

Ich habe begonnen mit dem Induktionsanfang:
\(n=1, m=2,\)    \(n,m\in\mathbb{N}\) 
\((2+1)^1-1=3-1=2\)
\(\frac{2}{2}\in\mathbb{N}\) 

nun der Induktionsschluss, bei dem weiß ich leider gar nicht wie ich rangehn soll. Ich schreib mal das auf, was ich mir gedacht habe bzw auf was ich gekommen bin.

Vorraussetzung:
\(n=k\) 
\(\frac{(m+1)^k-1}{m} \in\mathbb{N}\) 

Annahme:
\(\frac{(m+1)^{k+1}-1}{m} \in\mathbb{N}\) 

Beweis:
\(\frac{(m+1)^{k+1}-1}{m}=\frac{(m+1)\cdot(m+1)^k-1}{m}\)
Ab jetzt ist es vorbei.

EDIT vom 17.10.2023 um 10:59:

ich hab jetzt ein bisschen rumgespiel und bin auf das hier gekommen.

EDIT vom 20.10.2023 um 21:53:

 

Das hier besser? 

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Es macht keinen Sinn, aus $n$ plötzlich $k$ zu machen. 

Multipliziere den Zähler mal aus und zieh den Bruch auseinander. 

Übrigens ist deine Annahme Quatsch. Das ist ja das, was du beweisen möchtest, nicht, was du annimmst.
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Gerade bei dieser Induktion ist es das wichtigste, Beh. und Ann. sauber aufzuschreiben. Induktion wird über eine(!) Variable geführt.
Wenn Du noch nie eine Induktion über eine Variable (üblicherweise n) gemacht hast, schau Dir erst diese in Deinen Unterlagen an, bis Du es 100%ig verstehst.

Hier hilft es, die Beh. auf eine Variable umzuschreiben:
Für alle $n$ gilt: $(m+1)^n-1$ ist stets durch $m$ teilbar.
Damit ist die zweite Variable ($m$) etwas versteckt und stört das Verständnis weniger.
Ind. Anf.: $n=1$: Schreibe es vollständig auf, nicht nur ein paar Gleichungen untereinander. Wenn kein einziges Wort auftaucht, ist es nicht vollständig.
Ind. Ann.: Für ein $n$ gilt... (hinschreiben!)
Ind. Beh.: Dann gilt.... (hinschreiben!)
Nun Ind. Schluss. Fang mit entsprechenden Ausdruck an und forme um.
Wenn Du dann hängenbleibst, lade Deine gesamte(!) Rechnung bis hierhin als Foto hoch (oben "Frage bearbeiten").
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Wie bereits von mikn angedeutet: Die vollständige Induktion nur über n, nicht über m ausführen!
Man kann auch vollständige Induktion über zwei Variablen veranstalten, aber das ist ziemlich kompliziert!
Der Induktionsanfang muss also für n=1 und FÜR ALLE \(m\in\mathbb{N}\) bewiesen werden.
Die Induktions-Annahme gilt FÜR ALLE \(m\in\mathbb{N}\) .
Der Induktionsschluss muss ebenso FÜR ALLE \(m\in\mathbb{N}\) bewiesen werden.
  ─   m.simon.539 17.10.2023 um 02:05

Danke, ich hab noch so viele Wissenslücken auf diesem Gebiet das ist ein Wahnsinn und bin unendlich dankbar für jede hilfe. Ich hoffe dass das Bild oben in de Frage nun weiter in die richtige Richtung gegangen ist.   ─   eldegery 17.10.2023 um 11:01

Warum rumgespielt? Ich hab dir das formale Gerüst hingeschrieben, Du hättest es nur abschreiben brauchen. So ist die richtige Idee zwar drin, aber formales durcheinander. So wird sich der Nebel nicht lichten. Auch den Hinweis mit "kein einziges Wort..." hast du nicht umgesetzt.   ─   mikn 17.10.2023 um 12:03

Da ist immer noch einiges sehr unsauber. Warum den Indunktionsanfang für $n=2$? Mach es nicht komplizierter als es ist. Und nochmal: Die Annahme möchtest du beweisen. Also ist das hier keine Annahme, weil du ja nicht das, was du zeigen möchtest annehmen kannst. Du möchtest im Beweis den Ausdruck aus der Voraussetzung alleine stehen haben, damit du diese Anwenden kannst. Deswegen nochmal der Verweis auf meine Antwort: Multipliziere den Zähler aus, lasse das $ (m+1)^n$ dabei stehen und ziehen den Bruch auseinander. Du erhältst zwei Summanden. Auf den einen kannst du die IV anwenden und bei anderem kann man sofort sehen, dass erst ohne Rest teilbar ist.   ─   cauchy 17.10.2023 um 12:04

Die Gleichung $(m+1)^n=qm+1$ ist schon von der Idee her richtig.   ─   mikn 17.10.2023 um 12:07

Kann ich jetzt so auf die Schnelle nicht einsehen...   ─   cauchy 17.10.2023 um 13:12

Bringt man die +1 auf die andere Seite, ist es die Ind.Vor.   ─   mikn 17.10.2023 um 13:14

Achja... Klar.   ─   cauchy 17.10.2023 um 13:20

Ich verstehe nicht, warum Du die Vorgabe nicht abschreiben kannst.
Die Ind. Vor. lautet: Für ein n gilt... (wo ist das Problem, das abzuschreiben?).
Wenn Du annimmst, dass die Aussage für alle n,m gilt, bist Du fertig, weil Du das annimmst, was Du erst zeigen sollst. Verstehst Du die Begriffe "Voraussetzung", "Annahme", usw. nicht?
Die Ind. Beh. hast Du nicht falsch abgeschrieben, sondern die fehlt komplett.
Schau Dir doch mal erstmal an, wie einfache Induktionen formal aussehen.
Im Ind. Schluss schreibst Du ",,,gilt pm+1". Was soll das? Sagst Du auch so was wie: "es gilt 5"? Aussagen sind die Objekte, die gelten, Zahlen und Terme können gar nicht gelten. Schreibe es also entsprechend auf.
Also: dieser Versuch ist deutlich besser, aber das ist noch Luft nach oben. Man merkt, dass Du die Begriffe nicht verstehst, die Du verwendest.
  ─   mikn 20.10.2023 um 22:27

Ergänzend dazu ist das auch mathematisch falsch, denn $(m+1)^n$ ist sicherlich kein Vielfaches von $m$. Genau hinschauen, wie die Voraussetzung lautet.   ─   cauchy 21.10.2023 um 00:00

1
Bis auf formale Nickeligkeiten sehe ich nur einen Fehler in der Rechnung:
Statt
"da \((m+1)^n\) ein Vielfaches von m ist, gilt: \(pm+1\)"
muss es heißen:
"da \((m+1)^n-1\) ein Vielfaches von m ist, gilt: \((m+1)^n = pm+1\) für eine ganze Zahl p"
  ─   m.simon.539 21.10.2023 um 00:11

2
Also eine Annahme zu beweisen sehe ich nicht als "formale Nickeligkeit". Da fehlt offenbar noch einiges an Verständnis. Und dass diese Tatsache nach mehrfachen Hinweisen weiterhin ignoriert wird, bestätigt das.   ─   cauchy 21.10.2023 um 07:23

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