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Hey, kann bitte jemand die folgende Aufgabe kontrollieren? Mir geht es vorallem um die Definition des Grundraums. Ist so ein Konstrukt wie ich es wählte überhaupt sinnvoll? Ich hab irgendwie Probleme dabei bei mehrstufigen Experimenten den Grundraum zu wählen wenn der Grundraum des zweiten Teilexperiments vom Ergebnis des ersten Teilexperiments abhängt. Aber wenn schon auf korrekter Formalisus hingewiesen wird sollte man vielleicht auch drauf achten. Siehe folgende Aufgabe.
Eine Person hat in ihrer linken Hosentasche drei 1 Euro Stücke und zwei 50 Cent Stücke, in der rechten zwei 1 Euro Stücke und fünf 50 Cent Stücke. Sie greift in die linke Tasche, wählt drei Münzen zufällig aus und steckt diese in die rechte Tasche. Dann zieht sie aus der rechten Tasche eine Münze zufällig heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese ein 1 Euro Stück? Achten Sie auf sauberen Formalismus
Meine Lösung:
Sei $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ mit $\Omega_1 = \{abc, abd, abe, acd, ace, ade, bce, bcd, cde, bde\}$ wobei $a,b,c$ den 1€ Münzen entsprechen und $d,e$ den 50ct Münzen in der linken Hosentasche. $\Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6,7,x,y,z\}$ wobei $1,2$ den 1€ Münzen in der rechten Hosentasche, $3,...,7$ den 50ct Münzen in der rechten Hosentasche und $x,y,z$ aus der linken Hosentasche neu hinzukommen.
1.Fall: Wir ziehen zuerst drei 1€ Münzen. Also das Ereignis $A_1 = \{abc\} \subset \Omega_1$. Dann ist $P(A_1) = 3/5 \cdot 2/4 \cdot 1/3 = 1/10$. Dadurch bekommen wir $\Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6,7,a,b,c\}$. Um dann eine 1€ Münze zu ziehen sei $B_1 = \{1,2,a,b,c\}$ und damit $P(B_1) = \frac{|B_1|}{|\Omega_2|} = 5/10 = 1/2$. Insgesamt also $1/10 \cdot 1/2 = 1/20$
2.Fall: Wir ziehen zuerst zwei 1€ Münzen: Dafür gibt es sechs Möglichkeiten: $A_2 = \{abd, abe, ace, bcd, bce, acd\}$ und damit $P(A_2) = 6/10 = 3/5$. Also bekommen wir $\Omega_2 = \{1,...,7,a,b,d\} $ und damit $B_2 = \{1,2,a,b\}$ und damit $P(B_2) = 4/10$. Insgesamt also $3/4 \cdot 4/10 = 6/25 $
3.Fall: Wir ziehen zuerst eine 1€ Münze. Also $A_3 = \{ade, cde, bde\}$, damit $P(A_3) = 3/10$. Wir bekommen $\Omega_2 = \{1,...,7, a,d,e\}$ und damit $B_3 = \{1,2,a\}$ und damit $P(B_3) = 3/10$ Also $3/10 \cdot 3/10 = 9/100$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 9/100 + 6/25 + 1/20 = 19/50 = 0,38.
Wie hättet ihr den Grundraum definiert und wie hättet ihr die Aufgabe vom Prinzip dann gelöst? Das Ergebnis 0,38 sollte aber stimmen. Weil so konnte ich noch jede Möglichkeit durchgehen, aber sobald mehr Münzen im Spiel sind bin ich aufgeschmissen. Kann mir vorstellen, dass sie anders gedacht war.
Danke schonmal.
Eine Person hat in ihrer linken Hosentasche drei 1 Euro Stücke und zwei 50 Cent Stücke, in der rechten zwei 1 Euro Stücke und fünf 50 Cent Stücke. Sie greift in die linke Tasche, wählt drei Münzen zufällig aus und steckt diese in die rechte Tasche. Dann zieht sie aus der rechten Tasche eine Münze zufällig heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese ein 1 Euro Stück? Achten Sie auf sauberen Formalismus
Meine Lösung:
Sei $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ mit $\Omega_1 = \{abc, abd, abe, acd, ace, ade, bce, bcd, cde, bde\}$ wobei $a,b,c$ den 1€ Münzen entsprechen und $d,e$ den 50ct Münzen in der linken Hosentasche. $\Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6,7,x,y,z\}$ wobei $1,2$ den 1€ Münzen in der rechten Hosentasche, $3,...,7$ den 50ct Münzen in der rechten Hosentasche und $x,y,z$ aus der linken Hosentasche neu hinzukommen.
1.Fall: Wir ziehen zuerst drei 1€ Münzen. Also das Ereignis $A_1 = \{abc\} \subset \Omega_1$. Dann ist $P(A_1) = 3/5 \cdot 2/4 \cdot 1/3 = 1/10$. Dadurch bekommen wir $\Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6,7,a,b,c\}$. Um dann eine 1€ Münze zu ziehen sei $B_1 = \{1,2,a,b,c\}$ und damit $P(B_1) = \frac{|B_1|}{|\Omega_2|} = 5/10 = 1/2$. Insgesamt also $1/10 \cdot 1/2 = 1/20$
2.Fall: Wir ziehen zuerst zwei 1€ Münzen: Dafür gibt es sechs Möglichkeiten: $A_2 = \{abd, abe, ace, bcd, bce, acd\}$ und damit $P(A_2) = 6/10 = 3/5$. Also bekommen wir $\Omega_2 = \{1,...,7,a,b,d\} $ und damit $B_2 = \{1,2,a,b\}$ und damit $P(B_2) = 4/10$. Insgesamt also $3/4 \cdot 4/10 = 6/25 $
3.Fall: Wir ziehen zuerst eine 1€ Münze. Also $A_3 = \{ade, cde, bde\}$, damit $P(A_3) = 3/10$. Wir bekommen $\Omega_2 = \{1,...,7, a,d,e\}$ und damit $B_3 = \{1,2,a\}$ und damit $P(B_3) = 3/10$ Also $3/10 \cdot 3/10 = 9/100$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 9/100 + 6/25 + 1/20 = 19/50 = 0,38.
Wie hättet ihr den Grundraum definiert und wie hättet ihr die Aufgabe vom Prinzip dann gelöst? Das Ergebnis 0,38 sollte aber stimmen. Weil so konnte ich noch jede Möglichkeit durchgehen, aber sobald mehr Münzen im Spiel sind bin ich aufgeschmissen. Kann mir vorstellen, dass sie anders gedacht war.
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sorcing
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